泰勒公式及应用.docx

泰勒公式及其应用
本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。
关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数
一、泰勒公式及其余项
1：泰勒公式
对于一般函数SKIPIF1<0，设它在点SKIPIF1<0存在直到SKIPIF1<0阶的导数，由这些导数构造一个SKIPIF1<0次多项式，
SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的泰勒(Taylor)多项式,SKIPIF1<0的各项系数SKIPIF1<0称为泰勒系数。
2：泰勒余项
定理1：若函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0存在直到SKIPIF1<0阶导数，则有SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0称为泰勒公式的余项。
形如SKIPIF1<0的余项称为佩亚诺型余项。
特殊的当SKIPIF1<0时;SKIPIF1<0
称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。
定理2：（泰勒定理）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在直至SKIPIF1<0阶的连续导函数，在SKIPIF1<0内存在SKIPIF1<0阶导函数，则对任意给定的SKIPIF1<0，至少存在一点SKIPIF1<0(a,b)使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0,
SKIPIF1<0,
称为拉格朗日型余项。
特殊的当SKIPIF1<0时;
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。
泰勒公式的应用SKIPIF1<0
利用泰勒公式求极限
求极限SKIPIF1<0
解：SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
因而求得SKIPIF1<0
例2，设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上二次连续可微，如果SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界，求证：SKIPIF1<0
证：要证明SKIPIF1<0，即要证明:SKIPIF1<0,当x>SKIPIF1<0时,
SKIPIF1<0利用泰勒公式,SKIPIF1<0,
即SKIPIF1<0=1\*GB2⑴
记SKIPIF1<0因SKIPIF1<0有界，所以SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0
故由=1\*GB2⑴知SKIPIF1<0=2\*GB2⑵
SKIPIF1<0,首先可取SKIPIF1<0.充分小，使得SKIPIF1<0,然后将SKIPIF1<0固定.
因SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时
SKIPIF1<0
从而由=2\*GB2⑵式即得SKIPIF1<0
例3，设=1\*GB2⑴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是SKIPIF1<0阶连续可微函数，此外SKIPIF1<0
=2\*GB2⑵当时SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0；
=3\*GB2⑶当时SKIPIF1<0,有
SKIPIF1<0=1\*GB3①
其中SKIPIF1<0
证明：SKIPIF1<0
证：我们要设法从=1\*GB3①式中解出SKIPIF1<0.为此,我们将=1\*GB3①式左边的SKIPIF1<0及右端的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处展开.注意条件=2\*GB2⑵,知SKIPIF1<0使得.SKIPIF1<0,
SKIPIF1<0
于是=1\*GB2⑴式变成
SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0
因SKIPIF1<0利用SKIPIF1<0的连续性,
由此可得SKIPIF1<0
证明中值公式
例4，设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上三次可导,试证:SKIPIF1<0使得
SKIPIF1<0=1\*GB2⑴
证：（待定常数