欧拉法改进欧拉法斐波那契法原理及流程图.docx

1欧拉法求微分方程

方法说明
欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题
(4.1)
最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N等分：
，步长.并将式(4.1)写成等价的积分形
式
（4.2）
再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有
,(4.3)
在式(4.3)右端取，舍去余项。则得
,
作为的近似值。
在式(4.3)右端取，舍去余项，则得
y2=y1+hf（x1，y1）
作为的近似值．
一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得
(4.4)
作为的近似值．式(4.4)为欧拉法计算公式．
我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解．
欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到过点的一条折线，见图4.1．过的积分曲线则用此折线来代替．因此，这种方法亦称折线法．

图4.1
例：用欧拉法求微分方程
欧拉法流程图如下:

x0+h=>x1
y0+h*f(x0,y0)=>y1
n=1
输出x1,y1
n=1+n
x1=>x0
y1=>y0
结束
n=N?
读入x0,y0,b,h
开始
计算N=fix((b-x0)/h)

欧拉法程序如下：
clear;
clc;
x1=0;
x2=1;
h=0.1;
x0=0;
y0=1;
N=(x2-x1)/h;%要计算的次数
x(1)=x0;
y(1)=y0;
forn=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
end
X=x
Y=y

2改进欧拉法求微分方程

方法说明
由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有
（5.1）
在式(5.1)右端取，舍去余项，则得

将作为的近似值．
在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得

将作为的近似值．
一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项．则得
(5.2)
将作为的近似值．
式(5.2)为改进欧拉法计算公式．
流程图如下：

例：用改进欧拉法求微分方程
改进欧拉法程序如下：
clear;
clc;
x1=0;
x2=1;
h=0.1;
x0=0;
y0=1;
p(1)=0;
N=(x2-x1)/h;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
forn=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));
y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;
end
X=x
Y=y

3斐波那契法求极值

方法说明
斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618。如图7.1所示，只要在[a,b]内取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),通过比较，可将区间[a,b]缩短为[a,x2]或[x1,b]。因为新的区间内包含一个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，又可将这个新区间再缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精确度为止。

图7.1

现在的问题是，怎样选取试点，在保证同样精确度的情况下使得计算f(x)函数值的次数最少？在计算函数值的次数一定的情况下，最初区间与最终区间的长度之比可作为取点方式优劣的一个标准。计算n次函数值，如何取点使最终区间最小？或者最终区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多长？为此，引入Fibonacci数列：
F0=F1=1
Fn=Fn-1+Fn-2,n≥2

表7.1

系

所以当试点个数n确定之后，最初的两个试点分别选为:
x1=a+Fn-2Fnb-a;
x2=a+Fn-1Fnb-a.
显然x1,x2关于区间[a,b]对称，即有x1-a=b-x2,如图7.2所示

图7.2