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曲线拟合的数值计算方法实验

【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curvefitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。
关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束

一、实验目的

掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。
掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
掌握实现曲线拟合的编程技巧。

二、实验原理

曲线拟合

曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（Xi，Yi)（i=1，2，...m），其中各Xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。
曲线拟合：贝塞尔曲线与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。

最小二乘法拟合：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
函数曲线为： y=Ax+B
其中系数满足下列的正规方程：

幂函数拟合：

函数曲线为：
设有N个点，其中横坐标是确定的。最小二乘幂函数拟合曲线的系数A为：
、

对数函数拟合：

对数函数（lograrithmicfunction）的标准式形式为

b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。
更一般的对数函数
Y=a+bln(X+k)
式中k为一常量，往往未知。
lnY=lna+bX
lnY=lna-bX
Y=a+blnX
Y=a-blnX

线性插值：

在代数插值中,为了提高插值多项式对函数的逼近程度一般是增加节点的个数，即提高多项式的次数，但这样做往往不能达到预想的效果。
如下图所示：

f(x)=1/(1+x2)如果在区间[-5，5]上取7个等距节点:xk=5*(k/3-1)(k=0,1,2,...,6),由lagrange插值公式可得到f(x)的次L7(x)。如图所示：L7(x)仅在区间的中部能较好的逼近函数f(x),在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。可以证明，当节点无限加密时，Ln(x)也只能在很小的范围内收敛，这一现象称为Runge现象。它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的，因而不采用高次多项式插值。
如果我们把以上的点用直线连接起来，显然比L7(x)要更逼近f(x)。这就是分段线性插值。
而在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

三次样条插值：

设有N+1个点，其中。如果存在N个三次多项式，系数为满足如下性质：

则成函数S(x)为三次样条函数。

端点约束：

紧压样条：存在唯一的三次样条曲线，其一阶导数的边界条件是：

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