曲率及其应用.docx

模块基本信息一级模块名称微分学二级模块名称应用模块三级模块名称曲率及其应用模块编号3-8先行知识1、弧微分模块编号无2、曲线的凹凸性3-6知识内容教学要求掌握程度1、曲率、曲率半径、曲率圆的概念1、理解曲率、曲率半径、曲率圆的概念简单应用2、计算曲线的曲率、曲率半径、曲率圆2、会计算曲线的曲率、曲率半径、曲率圆3、曲率的一些简单应用3、了解曲率的一些简单应用能力目标1、培养学生迁移的能力2、培养学生的计算能力时间分配45分钟编撰秦小娜校对方玲玲审核危子青一、正文编写思路及特点：
思路：首先复习弧微分的相关知识，然后导出曲率概念。
特点：通过介绍生活中的实际现象，引出“弯曲程度”这一概念，使得抽象概念具体化，学生更容易接受。
授课部分
复习引入
曲线的弧微分和曲线的凹凸性（弯曲方向）
（二）新课讲授
1、曲率的概念
曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用，那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢？观察下图：

（1）图1中，与弧长相等，的切线转角比的切线转角大，比弯曲程度大。
（2）图2中，与的切线转角相等，比弧长短，比弯曲程度大。
总结：曲线的弯曲程度与转角成正比与弧长成反比。
据此，我们给出曲率的定义。
当C上的动点从M移到M′时，切线转过了角度Δ（称为转角），而所对应的弧增量Δs=.
定义1：若将单位弧段上切线转角的大小称为的平均曲率，记为，则
=.
将上述平均曲率当Δs→0（即M′→M）时的极限，即
k==
称为曲线C在点处的曲率。
特别的，对于直线，倾角始终不变，故Δ=0，从而k=0，即“直线不弯曲”。
对于圆，设半径为R，由图4知，任意两点，处圆之切线所夹的角Δ等于中心角，而=，于是==，故
k==.
图4
即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数。若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零。从这个意义上看，直线是半径为无穷大的圆。

曲率的计算方法
（1）一般曲线方程曲率计算公式
设曲线方程为，且具有二阶导数.由于，从而
，
即==，
故d=dx，又ds=dx，于是
k==.
(选讲)（2）参数方程曲率计算公式
若曲线方程为则由参数方程求导法则可得
k=.
(三)案例讲解
例1试求曲线y=x3在点（0，0），（1，）和（2，）处的曲率.（一级）
解y′=x2，y″=2x，故
k==，
于是，
在（0，0）处k0=0；在（1，）处，k1=≈0.707；
在（2，）处，k2=≈0.057.
(选讲)例2计算摆线在处的曲率.（一级）
解由于

故得曲率

令得

向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用
（四）曲率的一些简单应用
（1）曲率圆与曲率半径
设光滑曲线C上点M处的曲率为k（k≠0）.在C上点M作法线，并在凹向一侧取点D，使得,以D为圆心，R为半径作圆，⊙D为曲线C在点M处的曲率圆,圆心D称为C在点M处的曲率中心,R称为C在点M处的曲率半径，如图5所示.

图5
故曲线y=f(x)在点M的曲率圆有下列性质:
(1)在点M处的曲率与曲线的相同;
(2)在点M处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.
由性质(2)还可知道,点M处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.
小结：对于曲线在点处，圆心为，半径为R的曲率圆的计算公式为

曲率的应用实例
(选讲)例3用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，该椭圆的方程为（单位为mm）

应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果？（二级）
解顶点坐标为，将方程改写为

则
代入曲率半径公式可得（mm）
所以，应选用直径为64mm的铣刀，可得较好的近似效果.

例4某工件内表面的型线为y=0.4x2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?（二级）
解为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值，如图6所示.

图6
对于y=0.4x2,有y′=0.8x,y″=0.8.曲率半径最小,应是曲率最大,而
k=.
当x=0时，k取最大值0.8,即顶点处曲率最大,因而有
R==1.25,
故砂轮直径不得超过2.50单位长.
三、能力反馈部分（考查学生对曲线曲率求法的掌握情况）
（1）计算抛物线y=4xx2在它顶点处的曲率.（一级）
（2）抛物线上哪一点处的曲率最大？（二级）
（3）一飞机沿抛物线路径（y轴铅直向上，单位m）作俯冲飞行.在坐标原点o处飞机速度v=200m/s，飞行员体重G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点o处时座椅对飞行员的反力.（三级）
（选做）