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初高中衔接教学讲义
一、常用公式
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三数和平方公式；
（4）两数和立方公式；
（5）两数差立方公式．
例1计算：．

已知，，求的值．

三边，，满足，试判定的形状．

若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）求x13＋x23的值．

练习：填空
．
若是一个完全平方式，则等于（用m表示）
已知：用x表示＝_____________.
二、因式分解
2.1．十字相乘法
例5（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；
（3）；（4）．
（5）

2.2．求根法
例6（1）；（2）．

练习
分解因式：
（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；（4）

（5）；（6）

（7）；（8）

（9）

2.3.综合除法
例7在实数范围内分解因式：

练习
在实数范围内分解因式：

三、平行线分线段成比例定理
3.1三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1如图：，且求.

例2在中，为边上的点，，
求证：.

例3在中，为的平分线，求证：.
例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习：如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

3.2相似形
例4（射影定理）如图：,在直角三角形ABC中，为直角，.
求证：（1），；
（2）

练习
1．已知：如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？

2.(外角平分线定理)在中，的外角平分线交BC延长线于D，求证：.

3.证明：ABCD中，

3.3三角形的“四心”
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.

例2三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

练习：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
例3求证：三角形各3分线的交于一点.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

例4求证：三角形的三条高交于一点.
已知中，AD与BE交于H点.
求证.

练习
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.

2．若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________.并请说明理由.

3．4圆
（切线定理）如图为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.

练习
1.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。

D
C
B
A
P

2，（割线定理）如图的割线PA、PC分别交于点B、C
求证：PAPB=PCPD

3.（相交弦定理）的弦AB、CD交于点P,求证：PAPB=PCPD