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《微分方程数值解法》论文

常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较
一、一阶常微分方程的初值问题
科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式是一阶方程的初值问题
SKIPIF1<0
我们知道，只要函数适当光滑，譬如关于满足Lipschitz条件
（1.3）
理论上就可以保证初值问题(1.1),(1.2)的解存在并且唯一。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
二、欧拉法
我们知道，在平面上，微分方程(1.1)的解称作它的积分曲线。积分曲线上一点的切线斜率等于函数的值，如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致，基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一点，循此前进推出一条折线，一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点，的坐标有关系

即
(2.1)
这就是著名的欧拉(Euler)公式。若初值已知，则依公式(2.1)可逐步算出

例1求解初值问题
SKIPIF1<0
解欧拉公式的具体形式为

取步长，计算结果如下表：
表1计算结果对比
0.1
0.2
0.3
0.4
0.51.1000
1.1918
1.2774
1.3582
1.43511.0954
1.1832
1.2649
1.3416
1.41420.6
0.7
0.8
0.9
1.01.5090
1.5803
1.6498
1.7178
1.78481.4832
1.5492
1.6125
1.6733
1.7321初值问题(2.2)有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表1，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差。
三、改进欧拉法
为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式如果对方程(1.1)从到积分,得
(3.1)
右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得
(3.2)
称为改进欧拉法．
改进欧拉方法是隐式单步法，可用迭代法求解．用欧拉方法提供迭代初值，则改进欧拉法的迭代公式为
(3.3)
为了分析迭代过程的收敛性，将(3.1)式与(3.2)相减，得
，
于是有
，
式中为对满足Lipschitz常数，如果选取充分小，使得
，
则当时有，这说明迭代过程(3.3)是收敛的．
例2用改进的欧拉方法求解初值问题(1.1)．
解改进的欧拉公式为

仍取，计算结果见下表．同例１中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度．
表2计算结果对比
0.1
0.2
0.3
0.4
0.51.0959
1.1841
1.2662
1.3434
1.41641.0954
1.1832
1.2649
1.3416
1.41420.6
0.7
0.8
0.9
1.01.4860
1.5525
1.6153
1.6782
1.73791.4832
1.5492
1.6125
1.6733
1.7321

四、线性多步法
在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度．这就是构造所谓线性多步法的基本思想．
构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程(1.1)两端积分后利用插值求积公式得到．一般的线性多步法公式可表示为
，(4.1)
其中为的近似，，，，为常数，及不全为零，则称(4.1)为线性步法，计算时需先给出前面个近似值，再由（4.1)逐次求出．如果，称(4.1)为显式步尖，这时可直接由(4.1)算出；如果，则(4.1)称为隐式步法，求解时与改进欧拉法相同，要用迭代法方可算出，(4.1)中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：设是初值问题(1.1),(1.2)的准确解。
阿当姆斯显式与隐式公式
考虑形如
，(4.2)
的步法，称为阿当姆斯(Admas)方法．为显式方法，亦称Adams-Bashforth公式；为隐式方法，亦称Adams-Monlton公式，直接由方程(1.1)两端从到积分求得。
例3积分法导出三步显式阿当姆斯方法．
解对(1.1)两端从到积分
．
考虑以为节点的二次代数多项式插值，则
．
从而得到

同理得
．
再由积分中值定理也不难得到
，
即的阿当姆斯显式公式为
，(4.3)
其局部截断误差为
．
例4用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题
SKIPIF1<0
取步长．
解本题．从四阶阿当姆斯显式公式得到

对于四阶阿当姆斯隐式公式得到

由此可直接解出而不用迭代，得到
．
计算结果如表5，其中显式方法中的及隐式方法中的均用准确解计算得到，对一般方程，