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放缩法证明不等式
一、放缩法原理
为了证明不等式，我们可以找一个或多个中间变量C作比较，即若能判定同时成立，那么显然正确。所谓“放”即把A放大到C,再把C放大到B；反之，由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧
１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
2、糖水不等式放缩：.
3、添（减）项放缩
4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
5、逐项放大或缩小：

三、例题讲解
例1：设、、是三角形的边长，求证≥3

例2：设、、≥0，且，求证≥

例3：已知求证：

例４：函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.

例5：已知an=n，求证：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．

例6：已知数列，，，．（1）求数列的通项公式；（2）对一切正整数，不等式恒成立，试求正整数的最小值。

例7：已知数列，，
求证：(1)．(2)

例8：（1）已知，证明：不等式对任何正整数都成立.
（2）证明：对于任意正整数R，有

例9：在平面上有一系列点，对每个自然数，点位于函数的图象上.以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙又彼此外切，若，且N*).
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设⊙的面积为，，求证：.

例10：已知数列
满.
（1）填空当时，1（填“”不必说明理由）；
（2）试用表示N*)；
（3）求证：与中一个比大，另一个比小.并说明与中哪一个更接近于？
（4）求证：.

针对性练习
1、求证：

2、设求证：

3、已知函数，数列满足，且.
(1)设，证明：；
(2)设(1)中的数列的前项和为，证明.

4、已知数列满足求证：

5、设、、是三角形的边长，求证≥

6、设0≤≤≤≤1，求证：≤1

7.数列满足，求证：。

8.（2008浙江高考）：已知数列，，，．
记：，．
求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。