届高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教A版.docx

学案45空间向量及其运算

导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

自主梳理
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．
(2)相等向量：方向______且模______的向量．
(3)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________．

推论如图所示，点P在l上的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq\o(OP,\s\up6(→))＝___________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).
(4)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间任意一点O有，eq\o(OP,\s\up6(→))＝__________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OM,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝____.
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b______________，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝____________________；
②交换律：a·b＝________；
③分配律：a·(b＋c)＝________________.
4．空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a·b＝____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________，__________，________________，
a⊥b⇔________⇔_________________________________(a，b均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则|a|＝eq\r(a·a)＝_____________________________________________________________，
cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝_________________________________________________________.
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__________________________________________________________________.
自我检测
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则()
A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)
C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq