一个小波变换实例及Matlab实现.docx

选择或，使为一组正交归一基；
求。

或
由求。

或
由，构成正交小波基函数

或
Haar小波的构造
1）、选择尺度函数。

易知关于n为一正交归一基。
2）、求

其中

当n=0时，

当n=1时，

故，当n=0，n=1时

当n=0时，

当n=1时，

故

3）、求。

4）、求。

=
=
=
其图形如下：
t
t

Haar尺度函数

Haar尺度函数空间：
j为非负的整数，该空间又称为j级阶梯函数空间。则

随j的增加，分辨更为精细。
性质
函数集是的一个标准正交基。
当且仅当。
Haar小波函数
函数满足两点：（1）是的成员；（2）与正交。

性质：
是对称的、局部支撑的函数；
小波函数空间
是的正交互补，即
函数集是的一个标准正交基
Haar小波分解与重建
对Haar小波，有/2
Haar小波分解定理：
设：
则它可以有如下分解：

把函数f分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量

解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是，；分解后小波函数空间元素的系数是，；从而

2
1/2
1
-1
f(x)
2
1/2
1
1/2
1

Matlab程序
image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
subplot(2,2,1);
imshow(image1);
title('originalimage');
image1=double(image1);
imagew=imread('shuiyin.bmp');
imagew=rgb2gray(imagew);
subplot(2,2,2);
imshow(imagew);
title('originalwatermark');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
M=512;
N=64;
fori=1:N
forj=1:N
Ca(i,j)=cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);
end;
end;
IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');
IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1,'db1');
markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1'));
subplot(2,2,3);
colormap(gray(256));
image(markedimage);
title('markedimage');
imwrite(markedimage,gray(256),'watermarked.bmp','bmp');
image1=imread('512.jpg');
image1=rgb2gray(image1);
image1=double(image1);
imaged=imread('watermarked.bmp');
[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');
[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');
[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');
[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');
[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1');
[caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');
forp=1:N
forq=1:N
W(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));
end;
subplot(2,2,4);
colormap(gray(256));
image(W);
title('从含水印图像中提取的水印');
imwrite(W,gray(256),'watermark.bmp','bmp');