专题复习二 相似的综合应用.docx

专题复习二相似的综合应用
相似三角形的判定与性质与圆、函数、特殊三角形等知识的综合应用要注意知识之间的关联，应用转化化归思想化繁为简．
1.如图所示，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若=，BC=9，则DE等于(B).
A.2B.3C.4
（第1题）（第2题）（第3题）
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AB边上有一点D，且AD=AC，过点D作DE⊥AB交BC于点E，则△BDE的周长是(B).
A.3B.4C.5D.6
3.如图所示，E为ABCD的边CB的延长线上一点，若=，则的值为(C).
A.B.C.2D.3
4.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD交于点O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的面积分别记作S1，S2，S3，S4，那么下列结论中，不正确的是(B).
A.S1=S3B.S2=2S4C.S2=2S1D.S1·S3=S2·S4
（第4题）（第5题）（第6题）
5.如图所示，在△ABC中，BC=3，G是△ABC的重心，如果DG∥BC，那么DG=1．
6.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AC和BD交于点E，AC=BC，DE=2cm，AD=5cm，则⊙O的半径为cm．
（第7题）
7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于点F，连结BF，交AC于点G.
（1）求证：=.
（2）若AH平分∠BAC，交BF于点H，求证：BH是HG和HF的比例中项.
【答案】(1)∵CF∥AB，DE是中位线，∴四边形BCFD是平行四边形.∴DE=EF.∴.
（第7题答图）
(2)如答图所示，连结CH.∵AH平分∠BAC，∴∠BAH=∠CAH.在△ABH与△ACH中，,∴△ABH≌△ACH.∴BH=CH，∠HCG=∠DBH=∠HFC.又∠GHC=∠CHF，∴△GHC∽△CHF.∴=.∴CH2=HG·HF.又BH=CH，∴BH2=HG·HF.∴BH是HG和HF的比例中项.
8.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点（不与点A，B重合），EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF．
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y.求y关于x的函数表达式及x的取值范围．
（3）当x取什么值时，y有最大值？求出这个最大值，并指出该函数图象的变化情况．
（第8题）
【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°.∴∠ADE+∠AED=90°.∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°.∴∠ADE=∠BEF.∴△ADE∽△BEF.
(2)∵△ADE∽△BEF，∴=.∴=，即y=-x2+x.∴y关于x的函数表达式为y=-x2+x(0<x<4).
(3)y=-x2+x=-(x2-4x)=-(x-2)2+1.当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的.
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于点B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处，都有△PBQ与△ABC相似．
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△APQ面积最大？求出最大值．
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC，AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等？
（第9题）
【答案】(1)∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC.
(2)设BP=x（0＜x＜4）.AB==5.∵△PBQ∽△ABC，∴..∴S△APQ=∴当x=时，△APQ的面积最大，最大值是.
(3)存在.∵Rt△AQP≌Rt△ACP，∴AQ=AC.∵Rt△AQP≌Rt△BQP，∴AQ=BQ.∴AQ=QB=AC.在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.∴BC=AC.∴当λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等.
10.如图所示，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE，BF，DF，DG，CG分别相交于点P，Q，K，M，N.设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为(B).
A.6B.8C.10D.12
（第10题）（第11题）（第12题）
11.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为(C).
12.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度