三次样条插值的MATLAB实现.docx

程序设计期中考查
在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：
对插值区间进行划分：，函数在节点上的值，并且如果函数在每个小区间上是三次多项式，于上有二阶连续导数，则称是上的三次样条函数，如果在节点上还满足条件

则称为三次样条插值函数。
三次样条插值问题提法：对上给定的数表如下.
…………求一个分段三次多项式函数满足插值条件式，并在插值区间上有二阶连续导数。这就需要推导三次样条插值公式：
记在节点处的值为()(这不是给定插值问题数表中的已知值)。在每个小区间利用三次插值公式，得三次插值公式：
，。为了得到这个公式需要个条件：
(1).非端点处的界点有个；(2).一阶导数连续有个条件；(3).二阶导数连续有个条件，其中边界条件：eq\o\ac(○,1)
eq\o\ac(○,2)
eq\o\ac(○,3)
eq\o\ac(○,4)
其中：且()。
，为对应变量的一阶导数。其推导过程如下：
为了确定的值，把展开为：

+
这里，对连续求两次导，得：
。于是考虑在节点处的右极限值，得：
。
同理，在相邻小区间上可得的表达式为：

及在节点处的左极限值为：
。利用二阶导数于节点处的连续性条件，这里，有下式成立：
，用除等式两边，并注意，上式可简记为：

且
最后求得的线性方程组为：
(**)
通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。得出来的表达式就可以用软件来求解。具体求解过程如下：
已知对数据点，假设函数关系为，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式，使，满足关系。
例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。

12451342
分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用软件来求区间上间隔为0.5的各点的值。
求解过程如下：
因自然样条插值函数的边界条件为

这里，故确定的方程组形式形如上面的(**)式，其中系数和可按如下步骤进行：

将上述参数带入(**)式，得到以下方程组：

解得：

由公式

+
可知，

由所求出的表达式可知区间可分为，对两个区间分别用命令即可：
针对第一个区间：
;其图像如下

命令如下：
x=1:4;y=(-1/8)*x.^3+(2/8)*x.^2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4;
y1=interp1(x,y,xi,'spline')
其运行结果如下：
y1=

Columns1through6

0.87501.76562.50002.98443.12502.8281

Column7

2.0000
针对第二个区间：