隐圆最值问题习题.docx

“隐圆”最值问题
重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题
【例1】在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点C在y轴的左边，且∠ACB=90°，则点C的横坐标xC的取值范围是__________．
分析：在构造圆的前提下考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB为直径画圆。使用垂径定理即可得到

【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=
90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，E、F分别是直线AC、BC
上的动点，∠EDF=90°，则EF长度的最小值是__________．

分析：过D点作DE垂直AB交AC于点M可证△FBD∽△ECD即可
求出最小值

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，
M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始
终保持点M是BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转
过程中，线段CM长度的取值范围是_______________．

分析：将线段AD绕A点任意旋转隐藏着以A为圆心AD为半径的圆构造
出来。接下来考虑重点M的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。
此题使用中位线。答案是

【练】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE
=90°，AC=2，AD=1，F是BE的中点，若将△ADE绕点A
旋转一周，则线段AF长度的取值范围是．
分析：同例题

【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC，两顶点A、B分别在平面直角
坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值是（）
A．2B．1C．1+D．3

分析：取AB中点M连接OM、CM。因为OM=1，CM=，所以
OC=1+

【练1】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面
直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC
长的最大值为_______3___．

分析：取AB中点M，方法同例题

【练2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是__________．

分析：取AB中点M，方法同例题

【例4】如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB=10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．

分析：构造△ABO的外接圆。点O可以在圆上任意动，利用垂径定理即可得到
O到AB的最大距离为：

【练1】已知线段AB=4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为____2______．
分析：可构造一个以CD为斜边的水平的直角三角形，快速得到当AP=BP时最小，CD最小

【练2】如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是__________．

分析：画出△ABC的外接圆，观察动点B在弧上面的运动即可

【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为__________．

分析：画出△ABC的外接圆M。要保证∠ACB最大，即圆周角最大，只要圆心角最大即可。所以在等腰△MAB中只要半径最小即可，半径什么时候最小呢？只要圆与Y轴相切即可所以得答案为：
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗？
如图，设墙壁上的展品最高点P距底面2.5米，最低点Q距底面
2米，观察者的眼睛E距底面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站
在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（B）
A．1米B．0.6米C．0.5米D．0.4米

分析：只要△PQE的外接圆与人眼所在的水平线相切即可，通过垂径定理可得答案是B

【提升】
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6，
点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=
DE，则AD的取值范围是（）
A．2<AD<3B．2≤AD<3
C．2≤AD≤3D．1≤AD<2

2．（2012·济南）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，当A、B两点
分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动时，矩形ABCD的形状不变，则
OD的最大值为（）
A．+1B．C．D．
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC
=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°<θ<180°），得
到△MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC=2