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缓和曲线的计算

随着公路交通事业的发展,高等级公路将成为未来公路发展的主流。在高等级公路中勘测和设计人员为了提高线型标准,普遍采用了以曲线为主的平面线型,设计图一般只给出了路线的有关参数和施工图,测量人员需要根据具体的路线里程和施工图进行再计算,计算出坐标用仪器放样,因此本文首先讨论缓和曲线任一点坐标的计算工地的施工放样。
1．缓和曲线的作用
1）便于驾驶员操纵方向盘
2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化
3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车
4）与圆曲线配合得当，增加线形美观
2．回旋线基本方程:
即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R，Ls=s则Ls=A2/R
3．直角坐标及要素计算
1）回旋线切线角
（1）缓和曲线上任意点的切线角
缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
βx=L2/2RLs
（2）缓和曲线的总切线角
β=Ls/2R.180/л
2）缓和曲线直角坐标
任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为dβx
dx=dscosβx
dy=dssinβx
3）缓和曲线常数
（1）主曲线的内移值p及切线增长值q
内移值：p=Yh-R(1-cosβh)=Ls2/24R
切线增长值：q=Xh-Rsinβh=Ls/2-Ls3/240R2
（2）缓和曲线的总偏角及总弦长
总偏角：βh=Ls/2R
总弦长：Ch=Ls-Ls3/90R2
4）缓和曲线要素计算
《公路工程技术标准》规定，当R<R免时，必须设置缓和曲线。
切线长

外距
曲线长
圆曲线长
切线差
平曲线五个基本桩号：
ZH——HY——QZ——YH——HZ

5、坐标计算
如图1建立以ZH为坐标原点,过ZH点的缓和曲线切线为X轴,ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系。

图1
则缓和曲线(中线)任一点坐标
用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：
Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]
Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]
前6项展开式为
X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]-L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]
Y=L3÷[6（RLS）]-L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5]-L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9]-L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11]
公式中符号含义：
n—项数序号(1、2、3、……n)
！—阶乘
R—圆曲线半径
Ls—缓和曲线长)
通过坐标转换将相对坐标转换为大地测量坐标
x=x0-y′sin（α0）+x′cos（α0）
y=y0+y′cos（α0）+x′sin（α0）
α=α0+βx
式中x′、y′—以ZH为原点的假定坐标;（y′右转时取正数，左转时取负数）
x、y—用于绝对坐标;
R—圆曲线半径;
L—任一点至ZH点的曲线长度;
LS—缓和曲线长度;
α0—ZH（ＨＺ）点的切线方位角；
α—缓和曲线上任意一点的切线方位角
βx——缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角，左转为负数，右转为正数
6、卵形曲线的计算：
卵形曲线实质就是不完整的缓和曲线
1）基本方程式：

A2/R小-A2/R大=ls
计算方法：

将卵形曲线补充成完整的缓和曲线
补充段缓和曲线长度LS补=A2/R大
偏角β0=LS补/(2*R大)
通过切线支距法计算补充段Ａ点的相对坐标：
X０=LS补-LS补5÷[40（Ａ２）2]+LS补9÷[3456（Ａ２）4]–LS补13÷[599040（Ａ２）6]+LS补17÷[175472640（Ａ２）8]-LS补21÷[7.80337152×1010（Ａ２）10]
Y０=LS补3÷[6（Ａ２）]-LS补7÷[336（Ａ２）3]+LS补11÷[42240（Ａ２）5]-LS补15÷[9676800（Ａ２）7]+LS补19÷[3530096640（Ａ２）9]-LS补23÷[1.8802409472×1012（Ａ２）11]
Ｂ、补充完整后的相对坐标
X′=L-L5÷[40（Ａ２）2]+L9÷[3456（Ａ２）4]–L13÷[599040（Ａ２）6]+L17÷[175472640（Ａ２）8]-L21÷[7.80337152×1010（Ａ２）10]（公式１）
Y′=L3÷[6（Ａ２）]-L7÷[336（Ａ２）3]+L11÷[42240（Ａ２）5]-L15÷[9676800（Ａ２）7]+L19÷[3530096640（Ａ２）9]