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浅谈逆向思维在数学教学中的应用
祁礼斌
（静宁县靳寺职业中学）

摘要：本文谈论了概念教学、公式教学、反证法教学、反例教学等几个方面中逆向思维的培养与应用。
关键词：逆向思维；概念；反证法。

逆向思维是指背离原来的认识并在相对立的意义上去探索新的发展可能性.由于思维与原来认识相反,在与原来习惯思维相反方向上进行的,我们称它为逆向思维．
逆向思维从反面观察问题,打破心理学上的心理定势现象,冲破习惯思维的束缚,在与原来认识方向相反的方向上寻求解决问题的新方法,有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造．
逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法,它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索．在社会实践和学习的过程中,人们都有这样一个经验:当你对某一问题冥思苦想而不得其解时,不妨从它的反面去想一想,这样常使人茅塞顿开,获得意外的成功．
在数学发展的历史长河中,也有很多例证说明了:用逆向思维方法从问题的反面出发来考虑问题不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地．例如人们认识数、读数、写数都是从数的高位开始的,而算术则是从低位算起,为什么不能从高位算起呢?正是从这一奇特的逆向思维出发,终于创造出一种前所未有的独特的快速的计算方法．毕达哥拉斯学派自以为整数与整数之比已无穷尽世界之数,但希腊数学家海帕修斯关于无理性的发现,就是反证法对数学所建树的不可磨灭的功勋,使人们对数学的认识从有理数域扩大到实数域．再比如,欧几里得的《几何原本》问世后,人们试图证明欧氏的第五公设,大胆地引进一条与欧氏第五公设完全相反的命题:过平面上直线外一点至少可以作两条直线与原直线平行.在此基础上展开了一系列的推理,终于发现了几何学的新天地–非欧几何.
逆向思维不但在数学的历史发展过程中有重要作用,而且在我们学习数学的过程中也发挥着举足轻重的作用.在学习数学的过程中,经常会遇到这样的情况,当我们对书本上的基本知识和概念初步掌握后,就能够根据基础知识解决书上的一些例题和习题.这时大多数学生就会认为自己已经掌握和了解了全部内容.其实这时对于知识的理解是肤浅的,远没有达到融会贯通的程度,更谈不上有所发展了.这时,教师就应该引导学生从各种不同的途径,用多种方法去思考问题,如用逆向思维方法有重点的讨论问题,这样会收到事半功倍的效果．
逆向思维的培养也是一个循序渐进的过程.按照思维过程的指向性来划分,一个人的思维可以分为正向思维和逆向思维两种形式．一般认为正向思维是沿着人们的习惯性思路的思维方式,虽比较有序、高效,但容易受思维定势的束缚,影响人们的创造性.比如我国古代的司马光,小时侯在与同伴玩耍时见一同伴掉入大水缸中,常规办法是拉人出水,但缸对于孩子来说又高又大,无法实施.在其他孩子一筹莫展的时候,司马光却想到了相反的办法–砸缸放水,救出了同伴．这就是逆向思维在实际生活当中的成功应用．在学习数学的过程中我们会发现,逆向思维也是可以随时利用的,许多数学结论或题目,都可以“反过来想一想”,这样往往有利于理解掌握数学知识,甚至还可以发现一些新的规律．
正向思维和逆向思维处于矛盾的两个方面,没有逆向思维也就没有正向思维,没有正向思维也就没有逆向思维,它们相辅相成．因此,它们应该具有同等重要的地位．然而,在一般的数学教材中,运用逆向思维来处理的内容很少,由此导致学生的逆向思维能力很差．他们的思维活动长期处于正向思维活动之中,因此,给出一个数学问题后,他们总想力图通过正向思维来思考去获得问题的解决．但是,有很多数学问题利用正向思维很难获得问题的解决．如果改变一下思维方式,采用逆向思维去思考,则可以使问题很快得到解决,甚至可以得出一些创新的解法．由此可见,在数学学习过程中,教师应注意学生逆向思维的培养,这样就会使得学生能够更加灵活地去解决数学问题．同时,在大力倡导素质教育的今天,逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力,培养高素质人才也有着十分重要的意义．那么,在数学中应如何培养学生的逆向思维能力呢?
在概念的教学中培养逆向思维能力
我们知道概念是客观事物的本质属性在人们头脑里的反映.由于数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学．数学中的一切概念都是现实世界形式或数量关系这类本质属性在人们头脑里的反映.有不少教师在讲解概念时,总是直接把内容写在黑板上,然后让学生理解去记忆.这种形式有时需要,有时却很不好,不利于学生思维能力的培养.
那么,就不妨从“逆向”的角度去认识概念,去挖掘一下概念所包含的一切性质及隐含条件,这样能够加深对概念的理解.
如我们学习“映射”的概念之后,教师可以引导学生做这样的思考:设：A→B是集合A到集合B的映射.那么集合A、B中的元素对应情况将如何?通过老师的引导,学生可以得出结论,即:集合A中的元素不会有剩余了,而且每一个元素在B中都有唯