整式的乘法与乘法公式.docx

第7讲整式的乘法与乘法公式
学习数学的惟一方法是做数学。——哈尔莫斯
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整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式和多项式乘多项式。
乘法公式是多项式相乘得出的，它们是既有特殊性，又有规律性和实用性的具体结论．常用的公式有：

（n为奇数）
经典例题解析
例1．（第16届“希望杯”初二第2试题）计算：
×。
解原式

例2．(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题)计算：
(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝＿＿＿
解原式=(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
=(22-1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
=(24-1)(24＋1)…(232＋1)＋1
=……
=(232-1)(232＋1)＋1
=(264-1)＋1=264
例3．(1999年武汉市初中数学竞赛试题)设x,y为实数，且满足
，
则x+y=()
(A)1(B)-1(C)2(D)-2
解设x-1=a,y-1=b,则有，
将两式相加，得a3+b3+1998a+1998b=0，
即(a+b)[(a2-ab+b2)+1998(a+b)=0,从而(a+b)(a2-ab+b2+1998)=0
注意到a2-ab+b2+1998=
所以a+b=0,也就是(x-1)+(y-1)=0,x+y=2,故选C。
例4有下面三组代数式：
；；.
从每组中取出一个单项式相乘,则所有这样的三个单项式的积的和等于（）.
解.
根据多项式乘法的规律,所求三个数的积的总和为:

评注多项式乘以多项式,是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,然后再合并同类项，本题是这种法则的逆用.
例5．（2002年全国初中数学联赛试题）如果对于不小于8的自然数n，当3n+l是一个完全平方数时，n+l都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
解由3n+1=a2，知3不能整除a．于是a=3t±1，从而3n+1=9t2±6t+l,n=3t2±2t,
即n+1=t2+t2+(t±1)2，从而k=3．故选(C)
例6．（2002年浙江绍兴竞赛题）已知均为正数，且

M、N之间的关系是()．
(A)M>N(B)M<N(C)M=N(D)不能确定
解令则

从而M<N，故应选(B)．
例7．（2000年湖北黄冈初中数学竞赛试题）若求证：
证明：∵∴即
∵∴，于是
即所以或。
于是x=m,y=n或x=n,y=m，都有
例8．（2000年上海市初中数学竞赛试题）若n的十进制表示为则n3的十进位制表示中含有数码9的个数是．
解因为所以

又，
故n3共含有19+20=39个9．
同步训练
一选择题
1．（2008年第6届“创新杯”数学邀请赛试题）若x是不为0的实数，已知
则M与N的大小关系是
A．M<NB．M>NC．M=ND．无法确定
2．（第1届“创新杯”数学邀请赛试题）若2x+5y-3=0,则4x·32y=().
（A）32（B）16（C）8（D）4
3．（2005年河南省初二数学竞赛试题）已知(a＋b)=8，(a－b)=12.则a＋b的值为()
（A）10（B）8（C）20（D）4
4．（第4届“创新杯”数学邀请赛试题）己知x是无理数，(x+1)(x+3)是有理数，则
①x2是有理数；②（x-1）(x-3)是无理数；
③（x+1）2是有理数；④（x+2）2是无理数
上述4个结论中，正确的有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
5．（2001年北京市初二数学竞赛试题）若p是两位的正整数，则可能成立的等式是()．

二填空题
6．（2002年我爱数学初中生夏令营试题）计算:20033-20013-6×20032+24×1001=.
7．（第13届“希望杯”数学邀请赛试题）如果那么
8．（第一届“创新杯”数学邀请赛试题）有三个连续的奇数，它们的平方和是四个相同数字组成的四位数，那么这三个连续奇数中最大的一个是.
9．（2003年北京市初二数学竞赛试题）已知a-b=5,c-b=10,则a2+b2+c2-ab-bc-ca等于。
10．（第二届“创新杯”数学邀请赛试题）从九个数:中，作出任意两个数的积，任意三个数的积，任意四个数的积，…,任意八个数的积，这九个数的积。则所有这些积的和是。
三解答题
11．（1997-1998学年度天津市初二数学竞赛预赛试题）计算6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1的值。（结果可用幂的形式表示）
12．设a+b+c=2，a2+b2+c2=14,a3+b3+c3=20,求
(1)abc的值；
(2)a4+b4+c4的值．
13．（2009年南昌市数学竞赛八年级试题）已知n是大于1的整数，求证：n3可以写出两个正整数的平方差。
14．（2