拉格朗日乘数法.docx

§4条件极值
(一)教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．
(二)教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．
基本要求：
(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．
(2)较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．
(三)教学建议：
(1)本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．
(2)多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．
(3)在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为SKIPIF1<0的长方体形开口水箱，确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为SKIPIF1<0，则水箱容积SKIPIF1<0焊制水箱用去的钢板面积为SKIPIF1<0这实际上是求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件
SKIPIF1<0
限制下，求函数SKIPIF1<0的极值
条件极值与无条件极值的区别
条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面SKIPIF1<0平面所截的曲线上，有极小值1，这个极小值就称为条件极值。

二.条件极值点的必要条件
设在约束条件SKIPIF1<0之下求函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的极值.当满足约束条件的点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的条件极值点,且在该点函数SKIPIF1<0满足隐函数存在条件时,由方程SKIPIF1<0决定隐函数SKIPIF1<0,于是点SKIPIF1<0就是一元函数SKIPIF1<0的极限点,有
SKIPIF1<0.
代入SKIPIF1<0,就有
SKIPIF1<0,
(以下SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均表示相应偏导数在点SKIPIF1<0的值.)
即SKIPIF1<0SKIPIF1<0—SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,亦即(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)SKIPIF1<0.
可见向量(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)与向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)正交.注意到向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)也与向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)正交,即得向量(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)与向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)线性相关,即存在实数SKIPIF1<0,使
(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)SKIPIF1<0.亦即
SKIPIF1<0

Lagrange乘数法:
由上述讨论可见,函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0在约束条件SKIPIF1<0之下的条件极值点应是方程组
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
的解.
引进所谓Lagrange函数SKIPIF1<0,(称其中的实数SKIPIF1<0为Lagrange乘数)则上述方程组即为方程组
SKIPIF1<0
因此，解决条件极值通常有两种方法
1）直接的方法是从方程组（１）
SKIPIF1<0
中解出SKIPIF1<0并将其表示为
SKIPIF1<0
代入SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0成为变量为SKIPIF1<0的函数
SKIPIF1<0
将问题化为函数SKIPIF1<0的无条件极值问题；
2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出SKIPIF1<0来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去