高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性 理-人教版高三全册数学试题.doc

第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性理

1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【知识拓展】
1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)
(6)三次函数在R上必有极大值和极小值．(×)

1．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案A
解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)<0，得0<x<4，
∴单调递减区间为(0,4)．
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
答案C
解析在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在x＝2的左侧，函数在(－eq\f(3,2)，2)上是增函数，在x＝2的右侧，函数在(2,4)上是减函数，所以当x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数．
3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为()
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案A
解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.
由g(x)<0＝g(1)，得x>1，故选A.
4．函数f(x)＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
答案－eq\f(17,3)
解析f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－eq\f(17,3)，f(2)＝－eq\f(10,3)，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－eq\f(17,3).
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
答案(－∞，－1)
解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝e