创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 大题规范天天练 第一周 星期六 综合限时练 文-人教版高三全册数学试题.doc

星期六(综合限时练)
2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)
1.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
解(1)由b2－a2＝eq\f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2C.
所以－cos2B＝sin2C.
又由A＝eq\f(π,4)，即B＋C＝eq\f(3,4)π，得
－cos2B＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2C))＝sin2C＝2sinCcosC，
解得tanC＝2.
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得
sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，
又因为sinB＝sin(A＋C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))，
所以sinB＝eq\f(3\r(10),10)，
由正弦定理得c＝eq\f(2\r(2),3)b，
又因为A＝eq\f(π,4)，eq\f(1,2)bcsinA＝3，
所以bc＝6eq\r(2)，故b＝3.
2.(本小题满分12分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率.
解(1)∵＝eq\f(1,6)＝75,
∴x6＝6－＝6×75－70－76－72－70－72＝90，
s2＝eq\f(1,6)eq\i\su(n＝1,6,)(xn－)2＝eq\f(1,6)(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，
∴s＝7.
(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68，75)的取法共有如下4种取法：
{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，
故所求概率为eq\f(2,5).
3.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点.
(1)求证：AC1∥平面CDB1；
(2)求三棱锥C1－B1CD的体积.
(1)证明设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
(2)解∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面ABC，∴AC⊥平面BCC1B1，
∴A到平面BCC1B1的距离为AC＝3，
∵D是AB的中点，
∴D到平面BCC1B1的距离为eq\f(3,2).
而△CB1C1的面积为eq\f(1,2)×4×4＝8，
∴VC1－B1CD＝VD－C1B1C＝eq\f(1,3)×8×eq\f(3,2)＝4.
4.(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，一个焦点为(eq\r(3)，0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q.求eq\f(|AB|,|PQ|)的取值范围.
解(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝eq\f(8k2,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－4,1＋4k2)，
y1＋