（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题6 数列 第49练 高考大题突破练—数列 文（含解析）-人教版高三全册数学试题.docx

第49练高考大题突破练—数列
[基础保分练]
1.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2－2n.
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)设Tn是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,anan＋1)))的前n项和，求Tn.

2.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2＝2，a5＋a9＝14，b4＝a15＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

3.(2019·盐城模拟)已知函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝eq\f(1,anan＋1)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<m－2019对一切n∈N*成立，求最小正整数m.

[能力提升练]
4.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足2Sn＝an＋1－1，n∈N*.
(1)求数列{an}通项公式an；
(2)设bn＝nan，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn，并证明：Tn≤n·Sn.

答案精析
基础保分练
1.(1)证明由已知得当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，则an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1时满足上式，所以an＝6n－5(n∈N*)，
∴an－an－1＝6n－5－6×(n－1)＋5＝6为常数，
∴数列{an}为等差数列.
(2)解由(1)可知eq\f(2,anan＋1)＝eq\f(2,6n－56n＋1)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6n－5)－\f(1,6n＋1)))，
∴Tn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,7)＋\f(1,7)－\f(1,13)＋\f(1,13)－\f(1,19)))
eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋…＋\f(1,6n－5)－\f(1,6n＋1)))
＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6n＋1)))＝eq\f(2n,6n＋1).
2.解(1)设等差数列{an}的公差为d，
等比数列{bn}的公比为q，
∵a2＝2，a5＋a9＝14，
∴a1＋d＝2,2a1＋12d＝14，
解得a1＝d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝n，
∴b1＝a2＝2，b4＝a15＋1＝16＝2q3，
∴q＝2，∴bn＝2n.
(2)cn＝an·bn＝n·2n，
∴数列{cn}的前n项和Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，两式相减得
－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(22n－1,2－1)－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2.
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
3.解(1)由题意得an＋1＝eq\f(\f(1,an)＋1,\f(1,an))＝an＋1，
故数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n.
(2)bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).
∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
＝1－eq\f(1,n＋1).
即1－eq\f(1,n＋1)<m－2019对一切n∈N*成立.
又1－eq\f(1,n＋1)单调递增，且1－eq\f(1,n＋1)<1，
∴1≤m－2019，故m≥2020.
∴m的最小值为2020.
能力提升练
4.解(1)当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝(an＋1－1)－(an－1)，得an＋1＝3an.又由2S1＝a2－1及S1＝a1＝1得eq\f(a2,a1)＝3＝eq\f(an＋1,an)，∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，n∈N*.
(2)bn＝n·3n－1，
Tn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1，①
3Tn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1