高考数学 空间向量运算的坐标表示学案 新人教版.doc

3.1.5空间向量运算的坐标表示
学习目标：
掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。
会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。
掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。
学习重点：
利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。
利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。
学习难点：
利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。
学习过程：
一、复习回顾

二、新授：
我们知道，向量在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。
空间向量的直角坐标运算：
1．设＝，＝，则
⑴＋＝；
⑵－＝；
⑶λ＝；
⑷·＝.
思考1：上述运算法则怎样证明呢？（将＝＋＋和＝＋＋代入）
练习1：已知，求：
⑴＋.⑵3－2；⑶·.
2．两个向量共线或垂直的判定：设＝，＝，则
⑴//＝λ，；
⑵⊥·=0
练习2：已知，且，则x＝.
练习3：已知，且，则（）
A.B.
C.D.
3．向量的模：设a＝，则｜a｜＝
思考2：公式的几何意义？（表示长方体的体对角线）
4．空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，则A，B两点间的距离

练习4：已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.
5、两个向量夹角公式
=
当cos＜、＞＝1时，与同向；
当cos＜、＞＝－1时，与反向；
当cos＜、＞＝0时，⊥．
思考3：当，0<cos＜、＞<1及-1<cos＜、＞<0时的夹角范围？
三、典型例题

例2.如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．

分析：如何建系？→点的坐标？→如何用向量运算求夹角？

例3如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.

证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以，,为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则

所以
又
所以
所以
因此,即。
四、课堂小结
1.基本知识：
（1）空间向量坐标表示及其运算
（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（3）求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
2.思想方法：类比的数学思想
五、作业
（1）梳理知识点,整理课堂笔记
（2）书面作业:P98：7、8
（3）预习作业：教材习题3.1A组
学案5学点2学点3