【步步高】2015届高考数学总复习 导数的概念及运算学案 理 北师大版.doc

第三章导数及其应用
学案13导数的概念及运算
导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．

自主梳理
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝eq\f(Δy,Δx)称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．
导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．
3．函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．
4．基本初等函数的导数公式表

原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)F(x)＝sinxf′(x)＝__________F(x)＝cosxf′(x)＝____________f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝____________(a>0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0)f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0)f(x)＝lnxf′(x)＝__________
5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；
(2)[f(x)g(x)]′＝______________；
(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝______________[g(x)≠0]．
6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′u·u′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．
自我检测
1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)为()
A．Δx＋eq\f(1,Δx)＋2 B．Δx－eq\f(1,Δx)－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－eq\f(1,Δx)
2．设y＝x2·ex，则y′等于 ()
A．x2ex＋2x B．2xex
C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)·ex
3．(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 ()
A．64 B．32 C．16 D．8
4．(2011·临汾模拟)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标是 ()
A．－eq\f(ln2,2) B．－ln2
C.eq\f(ln2,2) D．ln2
5．(2009·湖北)已知函数f(x)＝f′(eq\f(π,4))cosx＋sinx，则f(eq\f(π,4))＝________.

探究点一利用导数的定义求函数的导数
例1利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1处的导数；
(2)f(x)＝eq\f(1,x＋2).

变式迁移1