定积分的几何应用.docx

第五节定积分的几何应用

分布图示
★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法
★平面图形的面积★例1★例2
★例3★例4★例5
★直角坐标系情形
★参数方程情形★例6★例7
★极坐标系情形
★例8★例9
★旋转体的体积
★例10★例11★例12
★平行截面面积为已知的立体的体积★例13
★平面曲线的弧长★例14★例15
★例16★例17
★内容小结★课堂练习
★习题5-5
★返回

内容要点
一、直角坐标系下平面图形的面积
讨论定积分
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
的几何意义

二、极坐标系下平面图形的面积
设曲线的方程由极坐标形式给出
SKIPIF1<0SKIPIF1<0，
则由曲线SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的曲边扇形的面积微元
SKIPIF1<0
所求曲边扇形的面积SKIPIF1<0

例题选讲

直角坐标系下平面图形的面积
例1(E01)求由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的图形的面积.
解面积微元:SKIPIF1<0
所求面积:SKIPIF1<0

例2(E02)求由抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所围成的面积.
解如图，并由方程组
SKIPIF1<0
解得它们的交点为SKIPIF1<0
选SKIPIF1<0为积分变量，则SKIPIF1<0的变化范围是SKIPIF1<0
任取其上的一个区间微元SKIPIF1<0
则可得到相应面积微元SKIPIF1<0
从而所求面积SKIPIF1<0

例3求由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的图形的面积.
解面积微元:SKIPIF1<0
所求面积:SKIPIF1<0

例4计算由曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的图形的面积。
解面积微元:SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
所求面积:
SKIPIF1<0

例5(E03)求椭圆SKIPIF1<0所围成的面积.
解椭圆面积:SKIPIF1<0面积微元:SKIPIF1<0
SKIPIF1<0

例6(E04)求双纽线SKIPIF1<0所围平面图形的面积.
解面积微元:SKIPIF1<0
所求面积:SKIPIF1<0

极坐标系下平面图形的面积

例7(E05)求心形线SKIPIF1<0所围平面图形的面积SKIPIF1<0
解面积微元:SKIPIF1<0
所求面积:
SKIPIF1<0

例8连接坐标原点SKIPIF1<0及点SKIPIF1<0的直线、直线SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴围成一个直角三角形.将它绕SKIPIF1<0轴旋转构成一个半径为SKIPIF1<0高为SKIPIF1<0的圆锥体，计算圆锥体的体积.
解体积微元:
SKIPIF1<0
所求体积:
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

例9(E06)计算由椭圆SKIPIF1<0围成的平面图形绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转椭球体的体积.
解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴所围成的图形绕SKIPIF1<0轴旋转而成的立体.
取SKIPIF1<0为自变量，其变化区间为SKIPIF1<0任取其上一区间微元SKIPIF1<0相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为SKIPIF1<0高为SKIPIF1<0的扁圆柱体的体积，即体积微元
SKIPIF1<0
故所求旋转椭球体的体积为
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
特别地，当SKIPIF1<0时，可得半径为SKIPIF1<0的球体的体积SKIPIF1<0

例10计算由连续曲线SKIPIF1<0、直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴所围成的曲边梯形绕SKIPIF1<0轴旋转一周而成的立体的体积.
解体积微元:
SKIPIF1<0
所求体积:
SKIPIF1<0

例11求曲线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所围成的图形绕SKIPIF1<0轴旋转构成旋转体的体积.
解体积微元:
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
所求体积:
SKIPI