北大高等代数2-04.docx

设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义

称为M的正交补.显然也是V的子空间.
命题1.5设是维欧氏空间的子空间，则.
证明设,则由正交补的定义得()=0.所以.这说明是直和.取M的一组标准正交基,先将它扩为V的一组基,.将它先正交化,再单位化.由于已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到,.显然与M中向量都正交,故.于是
V=L()+L()V
从而.

推论维欧氏空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为的标准正交基.
证明设M=L(),在中取出一组标准正交基,则,就是V的一组标准正交基.

最后介绍一下欧氏空间同构的概念.
设是两个欧氏空间,如果存在的一个映射,满足
(1)是的线性空间的同构映射
(2)保持内积关系.
则称是欧氏空间的同构映射,称同构.

第六章§2欧氏空间中特殊的线性变换
1．正交变换
设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意都有
(AA=
则称A是V内的一个正交变换.
正交变换的四个等价表述:
命题2.1A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价:
A是正交变换;
A把V的标准正交基变为标准正交基;
A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵;
对任意,|A.
证明(1)(2):设是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义:
|A|===1
(AA)=(,)=0(ij)
于是,A,AA是V的标准正交基.
(2)(3):A在下的矩阵A恰是到A,AA的过渡矩阵,从而A是正交矩阵.
(3)(4):设A在标准正交基下的矩阵为A,设=,则
(A,A)=(()A,()A)
==
==
开方即得|A.
(4)(1):如果A保持向量长度不变,则(AA)=,(A,A)=
(A(),A())=(,),展开:
(AA)+2(AA+(A,A)=+2+
利用前两个式子,得(AA=.
证明显然E;如果A,B,则(ABAB)=(B,B)=,故AB;若A,则显然可逆,于是
EEAAAAAA,
从而A.于是构成群.
由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.