北大高等代数.docx

第一学期第五次课
2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系
定义（线性等价）给定内的两个向量组
，（*）
，（**）
如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。
定义（集合上的等价关系）给定一个集合，上的一个二元关系“~”称为一个等价关系，如果“~”满足以下三条：
（1）反身性：；
（2）对称性：；
（3）传递性：。
与等价的元素的全体成为所在的等价类。
命题若与在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。
证明记所在的等价类为，的等价类为。若它们的交集非空，则存在，于是有。由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛盾。这就证明了和所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。
综上可知，命题成立。证毕。
命题给定内两个向量组
，（1）
，（2）
且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。
证明若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在，使得
().（i）
由于能被向量组（2）线性表示，故存在，使得
.
将（i）代入，得
，
即可被线性表示。
由此易推知
命题线性等价是的向量组集合上的等价关系。
2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩
定义（向量组的极大线性无关组）设为中的一个向量组，它的一部分组称为原向量组的一个极大线性无关组，若
（1）线性无关；
（2）中的每一个向量都可被线性表出。
容易看出向量组和线性等价。
引理给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线性相关。
证明由于可被线性表出，故存在，使得
（*）
设
.（**）
将（*）代入（**），得
.
设各系数均为零，得到
，（***）
（***）是一个含有个未知量和个方程的其次线性方程组，而，故方程组（***）有非零解，于是存在不全为零的，使得（**）成立。由线性相关的定义即知向量组线性相关。
定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。
证明设和中的线性等价的向量组。设向量组和分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于可将中的每一个向量线性表出，知（否则由引理知向量组线性相关，矛盾）。同理。于是。
推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。
定义（向量组的秩）对于内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩。