北大高等代数114.docx

第一学期第十四次课
第三章§3行列式的初步应用
3.3.1行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则
定义设矩阵
，
矩阵

称为的伴随矩阵。
由行列式的性质容易证得，
，
其中，为Kronecker记号。于是有
命题对于阶满秩方阵，有，若，则。
考察线性方程组
，
将其记为，若满秩，则
，
而
，
就是把的第列换成后的行列式，记
，
于是有：
定理若数域上的个未知量个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则它有唯一的一组解。这个定理称为Cramer法则。
3.3.2矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩
命题设，则。
证明对讨论满秩与不满秩的情况。
定义设
，
取，，

称为的一个阶子式，记为。
引理存在非零的阶子式。
证明“”若，则由矩阵的秩的定义，存在个线性无关的行向量，设它们为行，取它们构成一个秩为的矩阵

存在个线性无关的列向量，设它们为列，于是；
“”若存在，则此子式的个列向量线性无关，将它们扩充成为原矩阵的第，它们仍线性无关。证毕。
命题对于上的阶方阵，当且仅当存在某个阶子式不等于零，但所有阶子式都等于零。
证明“”若，则由引理，存在某个阶子式不等于零。若存在某个阶子式不等于零，则由引理，，矛盾于，必要性得证；
“”若对于，存在某个阶子式不等于零，则，而但所有阶子式都等于零，则，于是，证毕。