同余的概念和性质.docx

第5讲同余的概念和性质
解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）.
性质1：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。
★性质2：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。
★性质3：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。
性质4：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。
性质5：若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

例3求14389除以7的余数。

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

十位，…上的数码，再设M=＋＋…＋，求证：N≡M（mod9）

例6求自然数＋＋的个位数字。

习题
1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。

2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？

3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？

4.求33335555＋55553333被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？

6.数，被13除余多少？

7.求1993100的个位数字.

第五讲同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？
这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b（modm）.（*）
上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：
a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写
a≡0（mod2）
表示b是一个奇数，可以写
b≡1（mod2）
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：
ab（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（modm），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。
性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。
性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。
性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。
性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例如6≡10（mod4），而35（mod4），因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：∵288-214=74=37×2。