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二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法
王捷
（烟台南山学院山东烟台265713）
摘要：在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为或的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减少将近一半.
关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法.
中图分类号：01—0文献标识码：B
TheuseofcomplexnumbermethodsforSecond-orderconstantcoefficientNon-homogeneouslineardifferentialequation
Wangjie
(YantainanshanUniversity,Yantai,Shandong,265713)
Abstract：Inthesecond-orderconstantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequation,itaccountsforthemajorityshennon-homogeneoustermsareand.Forthistypeofdifferentialequations,ifmethodsofcomplexnumberareusingspecialsolution,thecalculationoftheamountreducedbynearlyhalf.
Keywords：differentialeguation；Ofnon-homogeneous；particularsolution；methodsofcomplexnumber.

在高等数学（同济五版）微分方程一章中，对于非齐次项为

的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解的求法非常繁琐，即便遇到或，即

或

的情况，也得将其视为

或

的情况进行求解.即特解的形式都须设为

的形式，按不是特征方程的根或是特征方程的根分别取和.然而，在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项形如

或
的情况占大多数.事实上，对于这类微分方程，我们可以用复数法进行求解.下面来介绍这种方法.
设二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为

则

可看成的实部，

可看成的虚部。再设非齐次项为和的微分方程的特解分别为和，则以为非齐次项的微分方程的特解可表示为

由欧拉公式

可变形为

于是二阶常系数非齐次线性微分方程

的特解就可设为

的形式，其中，按不是特征方程的根或是特征方程的根分别取和.代入微分方程后，所求的特解一定为这种形式.对于非齐次项为的微分方程，特解取，对于非齐次项为的微分方程，特解取，下面通过例子来说明这种方法的应用.
例1求微分方程的一个特解.（高等数学同济五版例3）
解将非齐次项看成

的实部，不是特征方程的根，故特解设为

将其代入所给的方程，消去，得

比较两端系数，得

解得

代入所设特解，得

去掉虚部，留下实部，求得一个特解为

例2求的通解.（高等数学同济五版习题12-9，1-(5)）
解将非齐次项看成

的虚部，所给方程的特征方程为

齐次方程的通解为

非齐次项中是特征方程的单根，故可设

代入原方程并消去，得，解得.于是原方程的一个特解为

当非齐次项为

且和均不为时，可将非齐次项拆
成两项后，应用叠加原理使用复数法求解，但起不到简化计算量的作用.
参考文献：
[1]同济大学应用数学系编.高等数学(第五版)，高等教育出版社,2001年10月.
[2]侯风波，高等数学第二版，高等教育出版社，2003年春
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