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数值分析课程设计报告

2011年6月23

数学与统计学院
专业课程设计成绩评定书

设计题目：Newton-Cotes和Romberg求积分

信息与计算科学专业指导教师刘瑞华

指

导

教

师

评

语

成绩：指导教师

时间：答辩小
组
意
见

设计成绩：答辩组长：
审定

系主任：

SKIPIF1<0
题目：用熟悉的计算机语言编程上机完成
（1）用Newton-Cotes公式计算积分SKIPIF1<0的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。
（2）用Romberg积分法计算积分SKIPIF1<0的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较分析，谈谈你的体会。
（3）记SKIPIF1<0，在上面的计算中SKIPIF1<0只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。
（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。

一．摘要：在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合Newton-Cotes和Romberg的理论基础对函数求积分，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。

二．实验设计目地
用熟悉的计算机语言编程上机完成Newton-Cotes公式计算积分和Romberg积分法计算积分。
三．Newton-Cotes和Romberg的理论基础
牛顿柯斯特公式：设将积分区间[a,b]划分为n等份，步长h=（b-a）/n,选取等距节点SKIPIF1<0=a+kh构造出的插值型求积分公式ISKIPIF1<0，称为牛顿—柯斯特（Newton-Cotes）公式，式中SKIPIF1<0称为柯特斯系数，引进变换x=a+th,则有SKIPIF1<0
龙贝格求积公式：
（1）.梯形法的递推化设将区间[a,b]分为n等份，共有n+1个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两人积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[SKIPIF1<0]经过二分只增加了一个分点SKIPIF1<0，用复合梯形公式求得该子区间上的积分值为SKIPIF1<0，注意，这里h=(b-a)/n代表二分前的步长，将每个子区间上的积分值相加得SKIPIF1<0，从而利用上式可导出下列递推分式：SKIPIF1<0
（2）.外推技巧从梯形公式出发，将区间[a,b]逐次二分可提高求积公式精度，当[a,b]分为n等份ISKIPIF1<0
若记SKIPIF1<0，当区间[a,b]分为2n等份时，则有SKIPIF1<0，并且有SKIPIF1<0I.
(3).龙贝格算法将上述外推技巧得到的公式重新引入记号SKIPIF1<0SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0等从而可将上述公式定成统一形式
SKIPIF1<0经过m(m=……)次加速后，余项便取下列形式：
SKIPIF1<0
这方法通常称为理查森外推加速方法。
设以SKIPIF1<0表示二分次后求得的梯形值，且以SKIPIF1<0表示序列｛SKIPIF1<0｝的m次加速值，则依递推公式可得SKIPIF1<0
公式也称为龙贝格算法，计算过程如下：
ⅰ.取k=0,h=b-a,求SKIPIF1<0
令SKIPIF1<0（k记区间[a,b]二分次数）
ⅱ.求梯形值SKIPIF1<0，即按递推公式计算SKIPIF1<0
ⅲ.求加速值，按公式a逐个求出T表的第k行其余各元素TSKIPIF1<0（j=1,2,…,k）.
iv.若|TSKIPIF1<0—TSKIPIF1<0|<SKIPIF1<0(预先设定的精度)，则终止计算，并取TSKIPIF1<0SKIPIF1<0I；否则令k+1SKIPIF1<0k转（2）继续计算.

khSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…0b-aSKIPIF1<0…1SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0…2SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0…3SKIPIF1<0SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0⑥SKIPIF1<0…4SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑦SKIPIF1<0⑧SKIPIF1<0⑨SKIPIF1