22 算子和算子方程.docx

2.2算子和算子方程
线性算子
1.定义：设和都是线性函数集，且，若元素经算子映射得唯一的确定的元素，其映射关系为

并满足线性运算律(、为任意常数)

则称为线性算子。其中：是的定义域，是的值域。
若对于任意的，都有

成立，则称为线性连续算子。
若对于任意的，都有
(C为有限常数)
成立，则称为线性有界算子。
可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。
2.运算性质
设A、B为线性算子，、分别为其定义域
(1)算子的和——若

(2)算子的积——若，

(3)算子的逆——若，则
，
称与B互为逆算子。。
3.线性算子方程：
可分为两种类型：
(1)设A是已知线性算子，若其值域中的已知点由定义域中相应未知点映射而得，即

则称之为确定性算子方程。
由算子方程的运算性质：

确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若存在，则解答是唯一的，连续，则解答是稳定的。
(2)设A为已知线性算子，其值域等于定义域，且(为待定常数)在值域中也是未知点，则

称为本征值算子方程。
本征值算子方程的求解任务：
①确定所取的待定的值；
②求出所对应的解。
对称算子和正定算子
1.对称算子
定义1：设，则

称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。
定义2：若函数集中的任何两个元素U和V所构成含算子的内积都满足

则称A为D上的对称算子。
定义3：若凡都有

则A亦称为D上的对称算子。
2.正定算子
(1)定义：若凡都有
(a为实数)
称A为D上的下有界算子。当a=0时，称A为D上的非负算子。
(2)定义：若凡都有

则称A为D上的正算子。
(3)定义：若凡都有
(k为正数)
则称A为D上的正定算子。
由以上定义可知：
正定算子正算子非负算子下有界算子对称算子线性算子。
自伴算子
1.伴随算子
定义：设A是H空间的线性连续算子，若存在B，使对于任何都有：

则称B为A的伴随算子，记为=。
2.自伴算子
基于上面的定义，当B=A时，

则称为自伴算子，即。
由上可知，自伴算子就是定义在H空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦为自伴算子。
3.Lagrange意义下的自伴算子
通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集上是线性连续对称算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是Lagrange意义下的自伴算子。
限定算子自伴性的边界条件——自伴边界条件自伴边值问题。
4.自伴边值问题
(1)Poisson边值问题

(2)Helmholtz边值问题
标量形式

矢量形式

若，
(3)Fredholm边值问题
第一类
第二类