算子方程的解(.doc

算子方程的解收稿日期：2009-01-11
基金项目：乐山师范学院科研项目(Z07051)；乐山师范学院科研项目(Z07085)
作者简介：段樱桃(1972-),女，讲师，硕士研究生，研究方向:算子理论。

段樱桃，邹进
（乐山师范学院数学系，四川乐山614004）

摘要：本文运用算子理论的技巧，在无限维Hilbert空间上给出了算子方程解的充分必要条件.
关键词：算子方程；正规算子；正算子
中图分类号：O177.1文献标识码：A文章编号：1672－0105（2009）01－0014－03

SolutionsoftheOperatorEquation
DuanYingtao，ZouJin
(DepartmentofMathematics,LeshanTeachersCollege,LeshanSichuan614000)

Abstract:Inthisarticle,usingthetechniqueofoperatortheory,thenecessaryandsufficientconditionsforthesolutionstotheoperatorequationareobtained.
Keywords:Operatorequation;Normaloperator;Positiveoperator.

1、引言
设为具有内积的无穷维复Hilbert空间,表示Hilbert空间上所有有界线性算子全体组成的集合。用和分别表示上的有界线性算子的数值域,逆和伴随算子;和表示Hilbert空间上的单位算子和范数.设。若对任意的有,则称为正算子,记作,其唯一的平方根记作。若,则称为自伴算子;若,则称为正规算子;如果(等价于),则称是酉算子;若,则称为正交投影。算子称为幂有界的,如果算子序列是有界的。
近几年来,矩阵方程的解及其应用引起了许多数学家的兴趣,Xi-yanHu,Kh.DIkramov等学者分别研究了矩阵方程的对称解、自反和反自反解以及斜对称正交解,并且给出了这些解的一般形式[1][2][3][4],但是他们的结论仅局限于有限维Hilbert空间.本文运用算子理论的技巧主要在无限维Hilbert空间上研究算子方程的解,得到一些新的结论,并给出了方程有正规算子解和正算子解的充分必要条件以及在特殊情形下解的一些性质。
2、主要结果和证明
为了证明主要结果，先给出一些引理。
引理1[5]设是有单位元的Banach代数，若,则存在且
=其中表示的谱半径。
引理2[6]设,则是算子的数值域。
定理1设,如果满足算子方程,且,其中表示的闭包,则算子是幂有界的。
证明:由可得以及
假设不是幂有界的，则对任意的自然数,存在一个单位向量序列和常数,使得成立.在这种情况下

其中这与矛盾.所以算子是幂有界的。
注1假设满足上述算子方程的算子是可逆的，则有,故是幂有界的,所以是有界算子。
推论1设,如果和可逆算子满足方程且,则
证明:由定理1可知,满足方程的算子是幂有界的，则存在一个常数c使得故同理也是幂有界的,所以
定理2设算子方程有正规算子解当且仅当是酉算子。
证明:若算子方程有一个正规算子解,即,则

所以是酉算子。
反过来，如果是一个酉算子,即是算子方程的解,则是正规算子。
注2设如果算子方程有一个解,则为广义投影;如果是自伴算子,则是正交投影。
推论2设算子方程有自伴算子解当且仅当是Hilbert空间上的单位算子。
推论3设算子方程有正算子解当且仅当有因子分解,其中和满足且是一个可逆算子.在这种情况下,是方程的一个正算子解并且方程的所有正算子解都有这种形式表示。
证明:如果算子方程有一个正算子解,令,从的定义可知且是可逆的,因此.在这种情况下,方程为

令,因此有且.必要性得证。
下面证充分性.由已知条件,有因子分解,其中和满足且是可逆算子,令,则

推论4设,算子方程有正算子解当且仅当有因子分解.如果和满足;如果和满足且是一个可逆算子。
推论4的证明和推论3是相似的,故略。

参考文献：
[1]MengCJ,HuXY,ZhangL.Theskew-symmetricorthogonalsolutionsofthematrixequation[J].LinearAlgebraAppl.2005,（402）:303-318.
[2]PengZY,HuXY.Thereflexiveandanti-reflexivesolutionsofthematrixequation[J].LinearAlgebraAppl.2003,（375）:147-155.
[3]ZhangX,ChengMY.Therank-ConstrainedHermitiannonnegative-definiteandpo