新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册同步课件：8-6-2 直线与平面垂直（二）.ppt

8.6.2直线与平面垂直(二)必备知识·自主学习【思考】
如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条直线与这个平面是什么位置关系?
提示:垂直.2.距离
(1)直线与平面的距离:直线与平面平行,直线上_________到平面的距离.
(2)平面与平面的距离:平面与平面平行,其中一个平面上_________到另一个平
面的距离.【思考】
是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离?
提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,a⊥β,则α∥β. ()
(2)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,α∥β,则a⊥β. ()
(3)对于直线a,b和平面α,若a⊥α,a⊥b,则b∥α. ()
提示:(1)√.垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)√.直线垂直于平行平面中的一个,也垂直于另一个平面.
(3)×.直线b可能在平面α内.2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 ()【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α,得PB⊥AC,
又AC⊥PC,PC∩PB=P,
所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.3.(教材二次开发:练习改编)已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是 ()
A.b⊥β B.b∥β
C.b⊂β D.b⊂β或b∥β
【解析】选A.因为a⊥α,a∥b,所以b⊥α.又α∥β,所以b⊥β.关键能力·合作学习2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E,F分别是棱AB,PC的中点.若EF⊥
平面PCD,求证:PA=AD.【解析】1.选B.因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面,所作的垂线也垂直于底面,
由线面垂直的性质定理可知,二者平行.
2.取PD的中点H,连接HF,AH,【解题策略】
关于线面垂直性质定理的应用
(1)在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用,利用平行关系转化为垂直关系,或将垂直关系转化为平行关系.【补偿训练】
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,
且EF⊥BC,则=.【解析】在三棱锥P-ABC中,
因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,
所以AB⊥平面APC.
因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,
因为EF⊥BC,BC∩AB=B,
所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,
因为F是AC的中点,E是PC上的点,
所以E是PC的中点,所以=1.
答案:1类型二空间中的距离问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2,∠BAD=60°,点Q在棱AB上
(1)证明:PD⊥平面ABCD;
(2)若三棱锥P-ADQ的体积为2,求点B到平面PDQ的距离.【思路导引】(1)证明PD与平面ABCD内的两条相交直线垂直;
(2)将所求距离转化,再转化为三棱锥的高求值.【解析】(1)因为AD=2PD=4,PA=2,
所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,
因为CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D.
所以PD⊥平面ABCD.(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为2,
所以S△ADQ·PD=2,所以S△ADQ=3.
所以AD·AQ·sin60°=3,所以AQ=3.
所以Q为AB中点,即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离.
在△ADQ中,由余弦定理可得

所以S△PDQ=×PD×DQ=.
由VP-ADQ=VA-PDQ⇒2=××d,所以.
所以点B到平面PDQ的距离为.【解题策略】
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化:利用线面距离、面面距离的定义,转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.【跟踪训练】
(2020·渭南高一检测)如图所示的几何体中,ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面
ABC,AA1=AC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
(1)求证:AC1⊥平面A1B1CD;
(2)若CD=2,求C1到平面A1B1CD的距离.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,
四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.
所以四