利用导数研究函数的极值.doc

1.3.2利用导数研究函数的极值
1函数y=(x2-1)3+1有()
A.极大值点-1 B.极大值点0
C.极小值点0 D.极小值点1
解析：y'=3(x2-1)2·(x2-1)'=6x(x2-1)2,当x>0,且x≠1时,y'>0;当x<0,且x≠-1时,y'<0,故x=0为极小值点.
答案：C
2已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为()
A.1,-3 B.1,3
C.-1,3 D.-1,-3
解析：因为f'(x)=3ax2+b,
所以f'(1)=3a+b=0. ①
又x=1时有极值-2,所以a+b=-2. ②
由①②解得a=1,b=-3.
答案：A
3函数f(x)=x3-3x2-9x+5在区间[-4,4]上的最大值和最小值分别为()
A.10,-22 B.10,-71
C.15,-15 D.-15,-71
解析：f'(x)=3x2-6x-9,由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=3.而f(-1)=10,f(3)=-22,f(-4)=-71,f(4)=-15.所以最大值为10,最小值为-71.
答案：B
4设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则 ()
A.a>-3 B.a<-3
C.a>
解析：令y'=aeax+3=0,得eax=
设x0为大于0的极值点,
∴a<0,ax0<0.
∴00<
答案：B
5已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()
A.-2或2 B.-9或3
C.-1或1 D.-3或1
解析：y'=3x2-3=3(x+1)(x-1).
当y'>0时,x<-1或x>1;
当y'<0时,-1<x<1.
∴函数的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间为(-1,1).∴当x=-1时,y取得极大值;
当x=1时,y取得极小值.
要使函数图象与x轴恰有两个公共点,只需
f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3×(-1)+c=0或13-3×1+c=0,解得c=-2或c=2.
答案：A
6下列四个函数中存在极值的是.(填序号)
①y
答案：②
7关于函数f(x)=x3-3x2,给出下列说法:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的增区间是(-∞,0]和[2,+∞),减区间是[0,2];
④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.
其中正确的是.(填序号)
解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状态如下表:
x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值0↘极小值-4↗由上表可以清晰地看出,f(x)在区间(-∞,0]和区间[2,+∞)上是增函数,在区间[0,2]上是减函数,且f(x)的极值情况是:f(x)极大值=f(0)=0,f(x)极小值=f(2)=-4,可知③④是正确的.
答案：③④
8如图是函数y=f(x)导数的图象,对于下列四种说法:
①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数;
②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数;
④3是f(x)的极小值点.
其中正确的是.(填序号)
解析：根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断.
答案：②③
9设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区
分析：先求定义域,再按照求单调区间、最值的步骤求解即可.
解f(x)的定义域
(1)f'(x)
,f'(x)>0;
当-1<x<,f'(x)<0;
当x>,f'(x)>0.
故f(x)的单调增区间
(2)由(1)知f(x)在区2
又因
所以f(x)在区
10已知函数f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).
(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≥∈[-2,-1]恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当a=-1时,f(x)=-x2ex,f(1)=-e.
f'(x)=-x2ex-2xex,
因为切点为(1,-e),
所以所求切线斜率k=f'(1)=-3e,
所以在点(1,-e)处的曲线的切线方程为y=-3ex+2e.
(2)方法一由题意得,f(-2)=e-2(4a+a+1)≥a≥
f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)=ex[a(x+1)2+1],
因为a≥f'(x)>0恒成立,
故f(x)在[-2,-1]上单调递增,
要使f(x)≥,
则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥a≥
方法二f'(x)=ex(ax2+2ax+a+1)
=ex[a(x+1)2+1].
①当a≥0时,f'(x)>0在[-2,-1]上恒成立,
故f(x)在[