弧度制和弧度制与角度制的换算[].doc

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标：1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
[自主预习·探新知]
1．角度制与弧度制的定义
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．
2．角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝eq\f(l,r).
3．角度与弧度的互化
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f(π,12)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(5π,12)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度πeq\f(7π,6)eq\f(5π,4)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)eq\f(5π,3)eq\f(7π,4)eq\f(11π,6)2π思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
[提示]这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．
5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝eq\f(απr,180°)l＝αr扇形的面积S＝eq\f(απr2,360°)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
[提示]此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．()
(2)1弧度是长度为半径的弧．()
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和．()
(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．()
[解析]根据弧度制的定义知(4)正确．
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．1080°等于()
A．1080 B．eq\f(π,10)
C．eq\f(3π,10) D．6π
D[1080°＝180°×6，所以1080°化为弧度是6π.]
3．圆心角为eq\f(π,3)弧度，半径为6的扇形的面积为________．
[解析]扇形的面积为eq\f(1,2)×62×eq\f(π,3)＝6π.
[答案]6π
[合作探究·攻重难]
弧度制的概念
下列命题中，假命题是()
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)
C．1rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．
[答案]D
[规律方法]弧度制与角度制的区别与联系
区别①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
②定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.[跟踪训练]
1．下列各说法中，错误的说法是()
A．半圆所对的圆心角是πrad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D[根据1弧度角的定义可知选项C正确，D错误；由半角和周角概念及角度与弧度换算可知A，B项正确．]
角度制与弧度制的转换
设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3,5)π，β2＝－eq\f(7,3)π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它