初中数学竞赛-数论-奇数与偶数-学生版.docx

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初中数学竞赛课程《奇数与偶数》.学生版./NUMPAGES10

中考考纲

考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用奇数与偶数的概念奇数与偶数的概念√奇数与偶数的性质奇数与偶数的性质√

知识架构

奇数与偶数的概念
奇数与偶数
奇数与偶数的性质

要点解析

偶数的一般形式是，其中是整数；奇数的一般形式是（或），其中是整数；
注意：奇数包括正奇数和负奇数，偶数包括正偶数，负偶数和零；零是偶数，因为它可以被整除.

模块一：奇数与偶数的概念和性质

知识精讲

一、奇数与偶数的概念
偶数：一个整数，如果能被整除，则这个数是偶数
奇数：一个整数，如果不能被整除，则这个数是奇数
二、奇数与偶数的性质
1、奇数不等于偶数
2、奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数
3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数之和是偶数
4、奇数奇数=奇数，奇数偶数=偶数，偶数偶数=偶数=的倍数
5、两个整数的和与差奇偶性相同
6、奇数的平方是型的数，偶数的平方是或型的数，其中是整数
7、任意两个整数的平方和不是型的奇数，其中是整数
8、任意两个整数的平方差不是型的偶数，其中是整数
9、奇数的平方的十位数字必为偶数
10、如果平方数的十位数字是奇数，则其个位数字为，反之，如果平方数的个位数字是，那么它的十位数字必为奇数
11、整数的幂与奇偶性相同（）

例题解析

试说明：奇数的平方是型的数，偶数的平方是或型的数，其中是整数

试证明：任意两个整数的平方和不是型的奇数，其中是整数

试说明：任意两个数的平方差不是型的偶数

试说明：奇数的平方的十位数字必为偶数

试说明：如果平方数的十位数字是奇数，则其个位数字为，反之，如果平方数的个位数字是，那么它的十位数字必为奇数.

模块二：奇偶分析法

知识精讲

奇偶分析法
运用奇数与偶数的性质来处理问题的方法就叫做奇偶分析法，经常被用来处理整数问题，方程问题和其它一些问题。

例题解析

已知，，中有两个奇数和一个偶数，求证：一定是偶数

设为奇数，，，，是，，，的任意一个排列，求证：是偶数.

设四个正整数之和为，求证：它们的立方和不可能为

是否存在整数，，满足

设，是正整数，且满足关系式
求证：是的倍数

有个数，，，，它们中的每一个数或者为，或者为.如果，求证：是的倍数

在代数式中，，，，，，，，，可以分别取或
证明：代数式的值一定是偶数；
求这个代数式的最大值

证明：当，都是给定的正整数，且，时，可以写成个连续偶数的和.

从，，，中至少要取出多少个奇数才能保证其中必定存在两个数，它们的和为

设是正整数，是的四个最小的正整数约数，若，求的值.

已知：，其中，均为小于的质数，是偶数，那么的最大值是多少？

甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是，那么乙最多买多少本书？

已知整数（）满足，，（）.
求：的最大值与最小值.

已知整系数二次三项式，其中，为奇数.若存在奇数使也为奇数，求证：方程没有奇数根.

给定整数和
如果是偶数，证明能够找到两个自然数和，使得；
如果是奇数，证明不存在两个自然数和，使得.

在，，，，的每一个数前添加一个正号或负号，求它们的代数和的最小正整数值.

已知，，为正整数，被，整除所得的商分别为，.
若，互质，证明与，都互质；
当，互质时，求的值；
若，的最大公约数为，求的值.

随堂练习

，，不全为零，满足，，称使得恒成立的正整数为“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数是（）
2B.1004 C.2006 D.2007

从中，至少取__________个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为

证明：当为自然数，形式的数不能表示为两个整数的平方差.

已知多项式的系数都是整数，并且是奇数，证明这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积.

设正整数不等于，，，证明从数，，，中可以找到两个数，，使得不是整数的平方.

设有只茶杯，开始时杯口都朝上，把茶杯随意翻转，规定每翻转只，称为一次翻动，翻动过的茶杯允许再翻.证明：当为奇数，为偶数时，无论翻动多少次，都不能使杯口都朝下.

课后作业

设的任一排列为，，，，.
求证：是一个偶数.

一个立方体的顶点标上或，