第10讲 二次函数的图像和性质（二）.doc

第10讲二次函数的图像和性质（二）
知识要点梳理
二次函数通过配方可以变成的形式，即，其中．
2.二次函数的性质
（1）.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2）.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
3.二次函数与一元二次方程的关系(图象与轴的交点个数)：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②当时，图象与轴只有一个交点，交点坐标为
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
4.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
经典例题
例1.将二次函数解析式配方成的形式，并指出它开口方向、对称轴和顶点坐标。
例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值，并求出顶点坐标
例3.求下列函数的最大值或最小值．
（1）（2）．
探索：试一试，当2≤≤3时，求二次函数的最大值和最小值．
例4．（1）已知抛物线，当k时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在轴上，则=．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（，0），B（，0），且，则的值是．
（1）且（2）（3）
例5．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与轴有两个交点；
并求两个交点的最小距离
（2）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
例6.二次函数的图象的一部分如右图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
（1）请判断实数的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与轴的另一个交点为C，
当ΔAMC的面积为ΔABC面积的倍时，求的值。
经典练习
1.如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）
ABCD

2.二次函数的图像如图，则点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）
x
y
O
B
x
y
O
D
y
O
C
x
y
O
A

x

5、二次函数的图象如图，
当时，的取值范围是（）
A． B．
C． D．或
6、二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）
A． B．C．D．
7.已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：_（填“>”，“<”或“=”）
8.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，其中所有正确的结论是（只需填写序号）．
9.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。
1
－1
－3
3
x
y
O
A
B
C
⑴二次函数的解析式为．一次函数的解析式为
⑵当自变量时，两函数的函数值都随增大而增大．
⑶当自变量时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量时，两函数的函数值的积小于0．
10.(十堰市）如图①，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
能力拓展题
1.若点（2，5），（4，5）是抛物线上的两个点，那么抛物线的对称轴是（）
A．直线B．直线C．直线D．直线
2.二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若二次函数的值总是负值，则a的取值范围为
4.已知关于x的二次函数
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.
（2）设二次函数