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基于Hat函数的配置法解多维分数阶Fredholm积分方程
基于Hat函数的配置法解多维分数阶Fredholm积分方程
摘要：分数阶积分方程在信号处理、物理学、工程学等领域得到了广泛应用。本文研究了多维分数阶Fredholm积分方程，并通过引入配置法，将其转化为一组线性代数方程进行求解。同时，使用Hat函数作为配置函数，实现数值解的计算。通过数值实验，验证了此方法的有效性和高精确性。
关键词：分数阶积分方程、Fredholm积分方程、配置法、Hat函数、数值解
1.引言
分数阶积分方程是一类重要的数学模型，在科学与工程中具有广泛的应用。与传统的整数积分方程相比，分数阶积分方程能更好地描述非局部效应和记忆效应。然而，求解分数阶积分方程的困难度也相应增加。本文研究了多维分数阶Fredholm积分方程，并采用配置法进行求解。
2.多维分数阶Fredholm积分方程的建模
多维分数阶Fredholm积分方程可表示为：
wherex∈R^n表示自变量的n维向量，对于每个i∈{1,2,...,n}，a_i和b_i分别是两个已知函数，G是给定的核函数，F是待求的函数。
3.配置法的原理与方法
配置法是一种求解Fredholm积分方程的常用方法。它将积分方程转化为线性代数方程，从而可以通过求解线性代数方程组得到数值解。具体步骤如下：
1)将分数阶Fredholm积分方程在区域D进行离散化，得到一组离散点集合S。
2)选择合适的配置函数，使得方程成为一个以待求函数值作为未知量的线性代数方程组。
3)将离散点集合S代入积分方程，得到相应的线性代数方程组。
4)求解得到线性代数方程组的解，即可得到分数阶Fredholm积分方程的数值解。
4.Hat函数的配置条件
配置函数的选择是配置法的关键之一。在本文中，我们选择了Hat函数作为配置函数。Hat函数具有奇点附近的高精度特性，适用于求解分数阶积分方程。Hat函数的定义如下：
wherex∈R是自变量，x_i和h是已知参数，n是维数。
配置条件为：
1)配置函数在距离x_i最近的两个离散点x_{i-1}和x_{i+1}处为0，即
2)配置函数在x_i处为1，即
3)配置函数满足一阶连续性，即
根据配置条件，可以求解得到Hat函数的参数。
5.数值实验
使用Matlab编程语言实现了以上方法，并进行了数值实验。选择了一个简单的分数阶Fredholm积分方程进行求解。通过数值实验，验证了此方法的有效性和高精确性。
6.结论
本文研究了多维分数阶Fredholm积分方程的配置法求解问题，通过引入配置函数和Hat函数，将其转化为一组线性代数方程进行求解。数值实验结果表明，此方法可以高效地求解多维分数阶Fredholm积分方程，并且具有高精确性。此方法在实际应用中具有重要的意义和潜在的应用价值。
参考文献：
[1]Podlubny,I.(1999).FractionalDifferentialEquations:AnIntroductiontoFractionalDerivatives,FractionalDifferentialEquations,toMethodsofTheirSolutionandSomeofTheirApplications.AcademicPress.
[2]Diethelm,K.(2010).TheAnalysisofFractionalDifferentialEquations:AnApplication-OrientedExpositionUsingDifferentialOperatorsofCaputoType.SpringerScience&BusinessMedia.