高考数学大二轮复习精品文理通用练习第1部分专题5立体几何第3讲.pdf

小学+初中+高中+努力=大学

第一部分专题五第三讲

A组

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的
余弦值为(B)

110
A．B．
2010

101
CD．－
．－1020

[解析]设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系
如图所示，

1
则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
2

→1→
所以DE＝(0，，1)，AC＝(－1,1,0)，
2
1
→→
→→DE·AC210
则cos〈DE，AC〉＝＝＝，
→→110
|DE||AC|＋1·2
4

10
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
10

→→→→→
2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平
面ABC，则实数x，y，z分别为(B)

33154015
A．，－，4B．，－，4
7777

4040
C．，－2,4D．4，，－15
77

→→→→
[解析]AB⊥BC?AB·BC＝3＋5－2z＝0，
所以z＝4，又BP⊥平面ABC，

→→
所以BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，①

→→
BP·BC＝3x－3＋y－3z＝0，②
4015
由①②得x＝，y＝－.
77

―→―→―→2―→2
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)＝3A1B1，②

―→―→―→―→―→
A1C·(A1B1－A1A)＝0，③向量AD1与向量A1B的夹角为60°，④正方体ABCD－A1B1C1D1的体

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―→―→―→
积为|AB·A1A·AD|，其中正确命题的序号是(B)

A．①③B．①②

C．①④D．①②④

[解析]如图所示：
→→→
以点D为坐标原点，以向量DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，

B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
―→―→
对于①：A1A＝(0,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)，

―→
A1B1＝(0,1,0)，

―→―→―→―→―→―→2―→2―→
所以A1A＋A1D1＋A1B1＝(－1,1，－1)，(A1A＋A1D1＋A1B1)＝3，而A1B1＝1，所以(A1A

―→―→2―→2
＋A1D1＋A1B1)＝3A1B1.所以①正确；

―→―→―→―→―→―→
对于②：A1C＝(－1,1，－1)，A1A＝(0,0，－1)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1C·(A1B1－A1A)

＝0.所以②正确；

―→―→
―→―→―→―→―→―→AD1·A1B
对于③：AD1＝(－1,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，AD1·A1B＝－1，cos〈AD1，A1B〉＝
―→―→
|AD1||A1B|

－11―→―→
＝＝－，所以AD1与A1B的夹角为120°，所以③不正确；
2×22

―→―→
对于④：因为AB·A1A＝0，所以④错误．故选B．

4．(2018·海口一模)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在

平面，点C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝

BC＝3，则二面角A－BC－P的大小为(C)

A．30°B．45°

C．60°D．90°

[解析]因为AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，点C

是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝3，

所以AC⊥BC，AC＝AB2－BC2＝4－3＝1，

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以点A为原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，P(0,0，3)，B(3，1,0)，C(0,1,0)，

→→
PB＝(3，1，－3)，PC＝(0,1，－3)，

设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，

→
n·PB＝3x＋y－3z＝0，
则
→
n·PC＝y－3z＝0，

取z＝1，得n＝(0，3，1)，

平面ABC的法向量m＝(0,0,1)，

设二面角A－BC－P的平面角为θ，

|m·n|1
则cosθ＝＝，所以θ＝60°，
|m|·|n|2

所以二面角A－BC－P的大小为60°.

5．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，

16
SAABBC1AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是.
＝＝＝，＝23

1
[解析]如图所示建立空间直角坐标