高考数学大二轮复习精品文理通用练习第1部分专题8选修系列第1讲.pdf

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第一部分专题八第一讲

A组

3
x3t
＝－2，
1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极
1
y＝t.
2

点，x轴的正半轴为极轴(长度单位与直角坐标系xOy中相同)的极坐标系中，曲线C的方程

为ρ＝2acosθ(a>0)，l与C相切于点P.

(1)求C的直角坐标方程；

(2)求切点P的极坐标．

[解析](1)l表示过点(3,0)倾斜角为120°的直线，曲线C表示以C′(a,0)为圆心，a为

半径的圆．

1
∵l与C相切，∴a＝(3－a)，?a＝1.
2

于是曲线C的方程为ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，

于是x2＋y2＝2x，

22
故所求C的直角坐标方程为x＋y－2x＝0.

(2)∵∠POC′＝∠OPC′＝30°，∴OP＝3.
π
∴切点P的极坐标为(3，)
6．

2π
2．已知圆C的极坐标方程为ρ＋22ρsinθ－－4＝0，求圆C的半径．
4

[解析]以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立
直角坐标系xOy.

222
圆C的极坐标方程为ρ＋22ρsinθ－cosθ－4＝0，
22

化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.

22
则圆C的直角坐标方程为x＋y－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.

x＝5cosφ，
3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(φ为参数)．
y＝3sinφ，

x＝4－2t，
(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：(t为参数)平行的直线l的普通方程．
y＝3－t，

(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．

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[分析](1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求
出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程．

(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．

[解析](1)由C的参数方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴右焦点F2(4,0)，将直线m
1
的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝，于是所求直线方程为x－2y－4＝0.
2

π
(2)(0)S4|xy|60sincos
由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分令≤φ≤2，则＝＝φφ＝

π
30sin2φ，∴当2φ＝时，Smax＝30，
2

即矩形面积的最大值为30.

4．(2018·邯郸一模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建
π
立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝2.
4

(1)求C1和C2交点的极坐标；

3
x＝－3＋t，
2
(2)直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与x轴的交点为P，
1
yt
＝2

且与C1交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.

π
[解析](1)C1，C2极坐标方程分别为ρ＝2sinθ，ρcos(θ－)＝2，
4

化为直角坐标方程分别为x2＋(y－1)2＝1，x＋y－2＝0.

得交点坐标为(0,2)，(1,1)．

ππ
即C1和C2交点的极坐标分别为(2，)，(2，)．
24

3
x＝－3＋t，
222
(2)把直线l的参数方程：(t为参数)，代入x＋(y－1)＝1，
1
yt
＝2

3212
得(－3＋t)＋(t1)＝1，
22－

2
即t－4t＋3＝0，t1＋t2＝4，t1t2＝3，

所以|PA|＋|PB|＝4.

B组

x＝2＋t，
1．(2017·全国卷Ⅲ，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参
y＝kt

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x＝－2＋m，
数)，直线l2的参数方程为m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，
y＝
k

P的轨迹为曲线C．

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，

M为l3与C的交点，求M的极径．

[解析](1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
1
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
k

y＝kx－2，
设P(x，y)，由题设得1
y＝x＋2，
k

消去k得x2－y2＝4(y≠0)，

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

222
(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，

222
ρcosθ－sinθ＝4，
联立
ρcosθ＋sinθ－2＝0

得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．

12921
故tanθ＝－，从而cosθ＝，sinθ＝.
31010

2222
代入ρ(