高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第4讲 平面向量的应用教案 理 新人教版 试题.doc

第4讲平面向量的应用
【2013年高考会这样考】
1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【复习指导】
复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．

基础梳理
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(θ为a与b的夹角)．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．

一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a＋b表示()．
A．向东南走3eq\r(2)kmB．向东北走3eq\r(2)km
C．向东南走3eq\r(3)kmD．向东北走3eq\r(3)km
解析

要求a＋b，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＝“向东走3km”，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＝“向北走3km”，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b.
|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)(km)，
又eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角是45°，所以a＋b表示向东北走3eq\r(2)km.
答案B
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状是()．
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法确定
解析由(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，得[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.
所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，
故△ABC是等腰三角形．
答案C
3．(2012·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(eq\r(3)，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是()．
A．4,0B．16,0
C．2,0D．16,4
解析设a与b夹角为θ，
∵|2a－b|2＝