谈数学设想 学法指导 不分版本 试题.doc

谈数学设想
张琴
我们知道，只有合理的分析问题，才能正确地解决问题。而“设想”是数学上一种很独特的思维方式，是分析的关键，对于探索性问题更显重要。
1.从图形“已知”设想
例1如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC=1，PA=2，E为PD的中点。在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。（05年湖北高考试题20题（2））

分析对N点的寻求，就需要考生大胆合理的设想，设想N点已在面PAB内作出，即EN⊥面PAC。
设PN的延长线交AB于F，连结DF，由已知PA⊥面ABCD，知面PAC⊥面ABCD，只要DF⊥AC就有DF⊥面PAC，则只要EN//DF即可，又已知E为PD的中点，故只要N为PE中点，于是N点被确定。
2.从条件出发设想（或猜想）
例2如图2，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且。

（1）证明：；
（2）假定CD=2，，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；
（3）当的值为多少时，能使？请给出证明。
分析（1）可通过BD⊥面证得。
（2）所求余弦值为（过程略）。
（3）中比值的寻求，是将结论与条件倒置，需探索条件，是开放型题目。由（1）知，要使，应有，结合及平行六面体，特别是正方体的特点，猜想，再将其作为已知条件就容易给出证明了。
证明（3）由（1）知，因为，所以BD⊥。
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证

3.从结论出发
“设想问题已解”，它适用于要证明的问题，也适用于要寻求与探索的问题，靠着设想，引导思维到达“柳暗花明”的境界。
例3已知抛物线（p>0）上两点A、B满足=0（O为原点），问是否存在点C（x,0），使得为非零实数），若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。
分析象这种探索性问题，设想是必不可少的。现假设符合条件的C点存在，因为点C在x轴上，所以只要直线AB的方程能写成过x轴上的定点的形式。
解假设存在符合条件的点C，并设
因为
所以
所以
又
直线AB的方程为

整理并将代入上式化简可得

所以直线AB过定点C（2p，0）（经检验知，当直线AB的斜率不存在时也满足题意），
即存在点C（2p，0）满足
从以上问题可以看出，数学设想对于创造性思维是至关重要的，设想是否符合实际，是否可行，不是漫无目的，而是有章可循的。