高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做14 函数与导数：零点（方程的解）的判断 理-人教版高三全册数学试题.docx

大题精做14函数与导数：零点（方程的解）的判断
[2019·江西联考]已知函数，．
（1）若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；
（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）若，则，所以，
因为的图象在处的切线过原点，
所以直线的斜率，即，
整理得，因为，所以，，
所以直线的方程为．
（2）函数在上有零点，即方程在上有实根，
即方程在上有实根．
设，则，
①当，即，时，，在上单调递增，
若在上有实根，则，即，所以．
②当，即时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，由，可得，
所以，在上没有实根．
③当，即，时，，在上单调递减，
若在上有实根，则，即，解得．
因为，所以时，在上有实根．
综上可得实数的取值范围是．

1．[2019·宁夏联考]已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的零点个数．

2．[2019·肇庆统测]已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．

3．[2019·济南期末]已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．

1．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
当时，，无零点；
当时，由，得．
当时，；
当时，，所以．
，当时，；当时，，．
所以当，即时，函数有两个零点；
所以当，即时，函数有一个零点；
当，即时，函数没有零点．
综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；
当时，函数没有零点．
2．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
若，，在上单调递减；
若，当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增．
（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意．
若，由（1）可知，的最小值为，
令，，所以在上单调递增，
又，当时，，至多一个零点，不符合题意，
当时，，
又因为，结合单调性可知在有一个零点，
令，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
的最小值为，所以，
当时，，
结合单调性可知在有一个零点，
综上所述，若有两个零点，的范围是．
3．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
（ⅰ）若，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
当时，令，则，；
（ⅱ）若，，恒成立，在上为增函数；
（ⅲ）若，，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
（ⅳ）若，，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当，，为增函数；
综上所述：当，在上为减函数，
在上为增函数；
当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数．
（2）（ⅰ）当时，，令，，
此时1个零点，不合题意；
（ⅱ）当时，由（1）可知，
在上为减函数，在上为增函数，
因为有两个零点，必有，即，
注意到，
所以，当时，有1个零点；
当时，，
取，则，
所以当时，有1个零点；
所以当时，有2个零点，符合题意；
（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；
（ⅳ）当时，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数；
，
因为，所以，
此时，最多有1个零点，不合题意；
（ⅴ）当时，在上为增函数，
在上为减函数；在上为增函数，
因为，
此时，最多有1个零点，不合题意；
综上所述，若有两个零点，则的取值范围是．