（新课标）天津市高考数学二轮复习 专题能力训练15 立体几何中的向量方法 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题能力训练15立体几何中的向量方法
一、能力突破训练
1.

如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O-EF-C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

2.

(2018北京,理16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.
(1)求证:AC⊥平面BEF;
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(3)证明:直线FG与平面BCD相交.

3.

如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

4.

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

5.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

6.

如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.

二、思维提升训练
7.如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,现将梯形ABCD沿OB折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=,E是线段PB上一动点.

(1)证明:DE和PC不可能垂直;
(2)当PE=2BE时,求PD与平面CDE所成角的正弦值.

8.

如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:PB∥平面EFG.
(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.

专题能力训练15立体几何中的向量方法
一、能力突破训练
1.解依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).

(1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).
设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,
则
不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),
又=(0,1,-2),可得n1=0,
又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.
(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).
设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,
则
不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).
因此有cos<,n2>==-,
于是sin<,n2>=
所以,二面角O-EF-C的正弦值为
(3)由AH=HF,得AH=AF.
因为=(1,-1,2),
所以,
进而有H,从而,
因此cos<,n2>==-
所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为
2.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥EF.
∵AB=BC,∴AC⊥BE,∴AC⊥平面BEF.
(2)解由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.
∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.
∵BE⊂平面ABC,∴EF⊥BE.
建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.

由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
=(2,0,1),=(1,2,0).
设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),
则
令a=2,则b=-1,c=-4,
∴平面BCD的法向量n=(2,-1,-4