（新课标）高考数学二轮复习 专题五 立体几何 专题能力训练15 立体几何中的向量方法 理-人教版课程.doc

专题能力训练15立体几何中的向量方法
能力突破训练
1.

如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O-EF-C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

2.

如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.
(1)求证:AO⊥BE;
(2)求二面角F-AE-B的余弦值;
(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.

3.

(2017山东,理17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

4.

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

5.

(2017北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

6.

如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.

思维提升训练
7.如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,现将梯形ABCD沿OB折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=,E是线段PB上一动点.

(1)证明:DE和PC不可能垂直;
(2)当PE=2BE时,求PD与平面CDE所成角的正弦值.

8.

如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:PB∥平面EFG.
(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.

参考答案

专题能力训练15立体几何中的向量方法
能力突破训练
1.解依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).
(1)证明依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).
设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,
则
不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),
又=(0,1,-2),可得n1=0,
又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.
(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).

设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,
则
不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1).
因此有cos<,n2>==-,
于是sin<,n2>=
所以,二面角O-EF-C的正弦值为
(3)由AH=HF,得AH=AF.
因为=(1,-1,2),
所以,
进而有H,从而,
因此cos<,n2>==-
所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为
2.(1)证明因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,
所以AO⊥EF.
又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,
所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE.

(2)解取BC中点G,连接OG.
由题设知EFCB是等腰梯形,
所以OG⊥EF.
由(1)知AO⊥平面EFCB,
又OG⊂平面EFCB,
所以OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),
B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).
设