高考数学总复习 课时作业（五十四）第54讲 第2课时 最值﹑范围﹑证明问题 理-人教版高三全册数学试题.doc

课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题
基础热身
1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.

图K54-1

2.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.
(1)求动圆圆心轨迹E的方程;
(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:kMA+kMB=2kMP.

能力提升
3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.

4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.

5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(-,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.
(1)证明:OP⊥BC;
(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.

难点突破
6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.

第2课时
1.解:(1)由题知A(-a,0),C(0,a),故B-,,
代入椭圆E的方程得+=1,结合a2-b2=1,得a2=4,b2=3,
故椭圆E的方程为+=1.
(2)由题知,直线l不与x轴重合,故可设l:x=my+1,
代入+=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,
连接ON,由Q与M关于原点对称知,
S△MNQ=2S△MON=|y1-y2|===,
∵≥1,∴3+≥4,∴S△MNQ≤3,当且仅当m=0时,等号成立,
∴△MNQ面积的最大值为3,此时直线l的方程为x=1.
2.解:(1)由题知,动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离,所以由抛物线的定义可知,动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,所以动圆圆心轨迹E的方程为y2=8x.
(2)证明:由题知当直线AB的斜率为0时,不符合题意,所以可设直线AB的方程为x=my+1,联立消去x,得y2-8my-8=0,Δ=64m2+32>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(-1,t),则
y1+y2=8m,y1·y2=-8,x1+x2=8m2+2,x1·x2=1,而2kMP=2·=-t,
kMA+kMB=+=
=
=
=-t,
所以kMA+kMB=2kMP.
3.解:(1)设点M到直线l的距离为d,依题意知=d.
设M(x,y),则有=|y+1|,化简得x2=4y,
所以所求轨迹C的方程为x2=4y.
(2)设lAB:y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4,所以=·|x1-x2|=4(k2+1).
因为C的方程为x2=4y,即y=,所以y'=,
所以直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.
因为k1k2==-1,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形,
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是直径.
因为=4(k2+1),
所以当k=0时,线段AB最短,长度为4,此时外接圆的面积最小,为4π.
4.解:(1)设曲线C上的任一点为(x,y),易知y≥0,则-|y|=1,得x2=4y,
即曲线C的方程为x2=4y.
(2)将y=kx+m代入x2=4y,得x2-4kx-4m=0.
当m>0时,Δ=16k