高考数学总复习 向量的概念和基本运算.doc

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高考数学总复习向量的概念和基本运算
一、知识回顾
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；
坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.
单位向量：aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2.向量的运算
运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的
加法1.平行四边形法则
2.三角形法则

向量的
减法三角形法则
,数
乘
向
量1.是一个向量,满足:
2.>0时,同向;
<0时,异向;
=0时,.

向
量
的
数
量
积是一个数
1.时，
.
2.

3.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
＝＋(线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
＝（＋）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则＝+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)
基本训练
1．已知分别是的边上的中线,且,则为（）
A.B.C.D.
2．已知,则是三点构成三角形的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若（）
A.B.C.D.
4.设，则C、D的坐标分别是（）
A.B.C.D.
5.已知，若，则.
6.对平面内任意的四点A,B,C,D，则.

7．若的方向相反，且
8．化简：
（1）_____________。
（2）______________。
（3）______________。
9.（04年上海卷.理6）已知点,若向量与同向,=,则点B的坐标为.
10．判断下列命题是否正确
（1）若，则。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若，则是平行四边形。
（4）若是平行四边形，则。
（5）若，则。
（6）若，则。
三、例题分析
例1．已知是内的一点，若，求证：是的重心.
例2．已知，，，且，求x.4

例3．是梯形，且，分别是和的中点，设，试用表示和

例4．已知，（如图），求证：A、B、C三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l、m、n使得.
A
B
C
O

例5在水流速度为的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12，求船的航行速度与方向。

四、作业同步练习1053向量的概念和基本运算