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善对比勤反思富联想
杜继渠

学生良好学习习惯养成受教师潜移默化影响，教师的教学观念、态度、风格、成果，必将深深地印在学生的心灵，成其未来发展的一面镜子。
优秀教师善于创设和谐、愉悦的研究氛围，将学生带入理想的学习情境中去，使学生在亢奋状态下激发灵感，提高学习效率。
面对紧张的高三数学教学，为防止学生陷入题海，教师应走进题海，揣着考纲这个“指南针”，精心研究教材，引导学生在相似中寻差别，在个性中找共性，不断总结，不断反思，培养学生的思维品质和创新能力。
下面就笔者在高三一轮复习中探讨函数问题的一些实例恭奉予同行，以抛砖引玉。
题1已知函数f(x)（）的图像的一段圆弧，如图1所示，若，则（）
A. B.
C. D.前三个判断都不正确

分析本题旨在考查点（x，f(x)）与原点连线斜率，观察图像，显然，当圆弧上的点逐渐靠近原点时，斜率越来越大，因而选C。

题2已知函数f(x)（）的图像的一段圆弧，如图2所示，若，则（）
A. B.
C. D.前三个判断都不正确

分析本题实质是研究点（－1，0）与圆弧上的点连线的斜率问题，与上题不同的是，定点不是原点，而是（－1，0），此时在切点T的左边斜率从小到大，在切点T右边斜率从大到小，因而，在整个区间［0，1］上，的大小不确定，故选D。
评价比较1、2两题可以发现，第1题，从相切的状态逐渐发展到与右端点相连的斜率为0，斜率呈现单调递减的趋势，问题是x轴上方的图像会不会超过半圆，事实上不会，当圆弧超过半圆时，不再是函数的图像，因为，函数首先是映射，不可能一对多；而第2题中，相切时斜率最大。切点左边，斜率递增，切点右边，斜率递减，注意甄别！
练习（1）已知函数f(x)（）的图像是一个半圆，如图2所示，则的最大值是_____________。（2）已知函数f(x)（）的图像是一个半圆，过点E（－1，0）的直线与半圆相交于A，B两点，已知，求线段EA中点的轨迹方程。

题3已知函数f(x)（）的图像是一个半圆，如图3所示，向量u=（－1，1），A在半圆上，求的取值范围。

分析圆的标准方程是，其参数方程为：θ［0，π］，则，而［0，π］，有，此时，所以当取到1，即时，取得最大值，而当，即θ=0时，取得最小值－2，所以，的取值范围是。

题4已知两段全等的圆弧相切于原点，如图4所示，求圆弧OA对应圆的圆心坐标。

分析由于两段圆弧相切于原点，容易发现两段弧关于直线y=x对称，且都与直线相切，下面研究弧OA所对应的圆的问题，如图5。

因为∠TOA=45°，且，所以∠=45°，所以△是等腰直角三角形，由于斜边长为1，所以点的坐标为（）。

练习（1）已知函数f(x)（）的图像的一段圆弧，如图5所示，圆弧与直线y=x相切，求圆弧OA的长。
（2）已知函数f(x)（）的图像的一段圆弧，如图6所示，且函数在［0，1］上总有，求此圆弧与x轴围成的弓形面积。

题5已知函数f(x)（）的图像是一个半圆，如图7所示，且，求数列的通项公式，并证明此数列的单调性。

分析首先求出函数的解析式。由圆的方程
（）。而，有。
下面证明单调性：首先考察数列是一个正项数列，再考察
。
当时，总有，所以，故数列是递减的正项数列。

题6不等式的解集是（）
A.
B.
C.
D.
分析这是一道向量应用题，其构思之精巧，方法之独到，令人赞叹！
解如图8，令。f(x)的图像是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆在x轴的上半部分；g(x)是斜率为2，在y轴上的截距为－a的直线，由图像可知：当时，g(x)的图像在f(x)图像的上方，故。

题7曲线有两相异交点时，实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
解如图9，曲线是以（2，0）为圆心，以2为半径的半圆，直线y=kx－4k＋3是过定点（4，3）的直线，设切线PC的斜率为，切线PC的方程为＋3，圆心（2，0）到直线PC的距离等于半径2，即直线PA的斜率为，所以，实数k的范围是。

善于对比，就能深刻理解，勤于反思，就能不断积淀，富于联想，就能充分发挥。厚积而薄发，高考就能游刃有余，取得优异成绩！