联想是思维的翅膀 学法指导 不分版本 试题.doc

联想是思维的翅膀曾宪强在解题中，根据题目提供的信息适时展开联想，通过探究、综合，与所学知识有机联系，对提高解题能力将会起到事半功倍的效果。题目：若实数a、b、x、y满足，m、n为正常数）。求的最大值。这是中学数学题库中的一道经典题目，下面就同学们通过联想而总结出的一些解法归纳如下，从中共享乐趣。联想一：这是一道求最值的题目，因此往往和不等式相联系。根据题设和结论中所给式子的结构特征，联想到高中数学教材第二册（上）第六章习题：“求证：。”可先证它的加强不等式。即，当且仅当时取等号。联想二：由联想一的证法联想到二次三项式的判别式的结构，可构造函数即，当且仅当时取等号。文华点精：应用构造法解题，不仅要弄清条件与结论的本质特点，还要有一个明确的方向。上述构造的函数，是通过式子与二次函数的判别式的结构特征类比而想到的。联想三：当时，上述不等式显然成立；当时，我们联想到平面解析几何中学习的距离公式，将不等式变形为，于是原不等式证明可转化成求距离的大小问题。设直线，则点P到直线的距离，如图，所以，当且仅当PO⊥时等号成立，即，亦即时等号成立。所以，当且仅当时取等号。文华点精：对于一些数量关系可用几何图形的性质表示的问题，可借助直观图形联想数量之间的关系，这是数形结合思想在解题中的应用。联想四：受联想三的启发，我们可以通过构造三角形来证上述不等式。设，则在△OAB中由（当A、O、B共线时取等号），得，化简整理即可得到要证的不等式。联想五：由等式（为正常数），可联想到圆的方程，把点依次看作以原点为圆心，半径分别为的圆上的动点，利用圆的参数方程证明：设则当且仅当，即，亦即时取等号，故的最大值是。文华点精：换元法是中学数学解题中常用的数学方法，三角换元是常用的以“式”换“元”的方法，尤其是有关圆、椭圆、双曲线上的点，常可通过三角换元把复杂的问题转化为三角函数问题来解决。联想六：由这个式子的结构，联想到向量的数量积。设向量，，它们的夹角为θ则所以当且仅当与同向，即时取等号。故的最大值是。文华点精：向量是“数”与“形”的组合体，有了向量的坐标表示，可使“数”与“形”有机地结合起来。本题应用向量知识解答，显得更加简洁明快。