高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及其运算押题专练 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题13导数的概念及其运算

1．已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()
A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)
C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)
解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).
答案：D
2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()
A．2B．0
C．－2D．－4
解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案：D
3．若曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0则a＝()
A.eq\f(1,2)B．2
C．ln2D．lneq\f(1,2)
解析：由题知，y′＝axlna，y′eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,x＝0))＝lna，又切点为(0，1)，
故切线方程为xlna－y＋1＝0，∴a＝eq\f(1,2).
答案：A
4．曲线y＝eq\f(1,2)x2＋x在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()
A．1B．2
C.eq\f(4,3)D.eq\f(2,3)
解析：∵y＝eq\f(1,2)x2＋x，∴y′＝x＋1，
∴切线在点(2，4)处的斜率为3，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.
令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝eq\f(2,3).
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×|－2|×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).
答案：D
5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()

A．－1B．0
C．2D．4

6．已知曲线y＝eq\f(1,ex＋1)，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为()
A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0
解析：y′＝eq\f(－ex,（ex＋1）2)＝eq\f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex>0所以ex＋eq\f(1,ex)≥2eq\r(ex×\f(1,ex))＝2(当且仅当ex＝eq\f(1,ex)，即x＝0时取等号)，则ex＋eq\f(1,ex)＋2≥4，故y′＝eq\f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)≤－eq\f(1,4)(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，切线的方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－0)，即x＋4y－2＝0.
答案：A
7．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．
解析：∵y＝x(3lnx＋1)，
∴y′＝3lnx＋1＋x·eq\f(3,x)＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案：y＝4x－3
8．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．
解析：因为y′＝2ax－eq\f(1,x)，所以y′|x＝1＝2a－1.
因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，
故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝eq\f(1,2).
答案：eq\f(1,2)
9．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

10．求下列函数的导数．
(1)y＝xnlgx；(2)y＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x3)；(3)y＝logasinx(a>0且a≠1)．
解：(1)y′＝nxn－1lgx＋xn·eq\f(1,xln10)
＝xn－1(nlgx＋eq\f(1,ln10))．
(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))′
＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′
＝－x－2－4x－3－3x－4
＝－eq\f(1,