高三数学（理）直线的方程、两条直线的位置关系 知识精讲人教版.doc

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高三数学（理）直线的方程、两条直线的位置关系知识精讲人教版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线的方程、两条直线的位置关系

二.教学重、难点：
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

【典型例题】
[例1]已知点P到两个定点M（），N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。
解：设点P的坐标为（x，y）
由题设有即
∴①∵N到PM的距离为1，
∴∴PM的方程为：②
②代入①：∴
∴P（）或（）；或
∴PN的方程为或

[例2]已知的顶点A（3，4），B（6，0），C（），求的内角平分线AT所在的直线方程。
解：方法一：∵直线AC到AT的角等于AT到AB的角
又∵，
设AT的斜率为或，则
化简得，解之，得或（舍去）
∴直线AT的方程为
即所求的方程为
方法二：设直线AT上的动点P（x，y）则P点到AC、AB的距离相等
∵
∴直线AB的方程为，即
直线AC的方程为
即那么
即或
结合图形分析知是的角A外角的平分线，故舍去。
∴所求的方程为

[例3]的三个顶点分别为A（），B（2，1），C（），试分别求出：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线的方程。
解：（1）由题意，根据直线方程的两点式，可得BC边所在直线的方程为，即
（2）由题意，BC中点P的坐标为（0，2）又A（），可由直线方程的截距式求得中线AD所在直线的方程为，即。
（3）由题意，，其中点为（0，2），BC的垂直平分线的斜率为2，由直线方程的斜截式，求得直线方程为，即

[例4]已知两直线，，当为何值时，与（1）相交；（2）平行；（3）重合?
解：当时，∴
当m时，
∴与相交
当且时，由，得或
由，得
故（1）当，且时，与相交
（2）当或时，
（3）当时，与重合

[例5]已知点P（2，），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。
解：（1）过P点的直线与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）且垂直于轴的直线满足条件
此时的斜率不存在，其方程为
若斜率存在，设的方程为，即
由已知，得解之，得
此时的方程为
综上，可得直线的方程为或
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由，得
所以。由直线方程的点斜式得，即
故直线是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线

[例6]已知函数，求的最小值，并求取得最小值时的值。

解：∵

它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在轴上求一点P（x，0）与点A（1，1），B（2，2）的距离之和的最小值。
由图可知转化为求两点和间的距离，其距离为函数的最小值
∴的最小值为
再由直线方程的两点式得方程为
令，得当时，的最小值为

[例7]已知n条直线，…
（其中），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n。
（1）求；
（2）求与轴、轴围成的图形的面积；
（3）求与及x轴、y轴围成的图形的面积。
解：（1）原点O到的距离为1，原点O到的距离为1+2，…原点O到的距离为
∵∴
（2）设直线交x轴于M，交y轴于N，则面积

（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知，则有
∴
∴所求面积为

[例8]已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是。
（1）求a的值；
（2）求到的角
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到的距离是P点到的距离的；③P点到的距离与P点到的距离之比是？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由。
解：（1）即
∴与的距离∴
∴∵∴
（2）由（1），即∴，而的斜率
∴
∵∴
（3）设点P（），若P点满足条件②，则P点在与平行的直线：上，且即或
∴或
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有
即∴或
由P在第一象限∴不可能
联立方程和
解得但不符合题意应舍去
解得

即为同时满足三个条件的点。

【模拟试题】
一.选择题：
1.曲线在点（）处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
2.若点P（2，）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A. B.
C.