高三数学直线的方程与两条直线的位置关系苏教版知识精讲.doc

高三数学直线的方程与两条直线的位置关系苏教版

【本讲教育信息】
一、教学内容：
直线的方程与两条直线的位置关系

高考要求：
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程
掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式．

二、知识点归纳
1、数轴上两点间距离公式：
2、直角坐标平面内的两点间距离公式：
3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4、直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）
5、直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率．特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝（0，1）
6、求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=
③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank
7、直线方程的五种形式
点斜式：，斜截式：
两点式：，截距式：
一般式：
8、特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
9、斜率存在时两直线的平行与垂直：
（1）两条直线平行的情形：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且
已知直线、的方程为：，
：
∥的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．
已知直线和的一般式方程为：，
：，则．
10、两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有惟一解
11、点到直线距离公式：
点到直线的距离为：

12、两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
13、直线系方程：若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或+（λ为常数）。

【典型例题】
例1、已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程
分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式
解：①因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），
故B点在y轴上，C点在x轴上，
即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，
利用截距式，直线BC的方程为+=1，
化为一般式为x－2y+6=0
②由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3故k=－
于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0
③由A（3，－4）、C（－6，0），
得直线AC的斜率kAC==－
利用点斜式得直线AC的方程为
y－0=－（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0
点评：本题考查了求直线方程的基本方法

例2、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析